图数据结构（期限、存储结构、遍历）

1、相关条款

顶点(Vertex)、弧形(Arc)、圆弧头(初始点)、圆弧终点(端点)、边缘(Edge)、向图(Directed graph)、无向图(Undigraph)、完全图(Completed grapg)、导演完全图、稀疏图(Sparse graph)、密集图(Dense graph)、权(weigh)、网(network)、无向网、有向网、子图(Subgraph)、邻接点(Adjacent)、度(Degree)、入度(Indegree)、出度(Outdegree)、路径(path)、回路(环)、简单路径、简单回路（简单环）、连通、连通图(Connected graph)、连通分量(Connected Component)、强连通图、强连通分量(有向图中的极大强连通子图)、生成树、极小连通子图、有向树。

无向图：G=(V, {E})、0≤边≤n(n-1)/2

有向图：G=(V, {A})、0≤弧≤n(n-1)

连通图：在无向图G中，假设图中随意两个顶点vi, vj属于V，vi和vj都是连通的，则图G是连通图。

连通分量：无向图中的极大连通子图

图例：

强连通图：在有向图G中，假设每一对顶点vi, vj属于V且vi不等于vj，从vi到vj与从vj到vi都存在路径，则图G是连通图。

强连通分量：有向图的极大强连通子图。

生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中所有顶点，但仅仅有足以构成一棵树的n-1条边。

假设在生成树上加入一条边，必然构成一个环：由于这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。

一个有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。

假设一个图有n和顶点和小于n-1条的边。则是非连通图。假设多余n-1条边，则一定有环。

但有n-1条边的图不一定是生成树。

2、存储结构

2.1邻接矩阵（数组表示法）

（无向图、有向图、无向网、有向网）

用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中数据元素（顶点）的信息。一个二维数组（邻接矩阵）存储图中数据元素之间的关系（边或弧）的信息。

若图G是无向图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

下图就是一个无向图：

从上面能够看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。

即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相相应的元全都是相等的。

从这个矩阵中，非常easy知道图中的信息。
（1）要推断随意两顶点是否有边无边就非常easy了。
（2）要计算某个顶点的度，事实上就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和。
（3）求顶点vi的全部邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]=1的vj就是邻接点；
而有向图有入度和出度之分：顶点vi的入度为是第i列各数之和，顶点vi的出度是第i行的各数之和。

若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵。定义为：

wij表示(vi,vj)或<vi,vj>上的权值。

无穷大表示一个计算机同意的、大于全部边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。

下图是一个有向网图和它的邻接矩阵：

注：这个边数组（邻接矩阵）的对角线应该是无穷大。

能够看出：

（1）第i行权重大于0、小于无穷的个数之和为顶点vi的出度(OD(vi))；

（2）第j列权重大于0、小于无穷的个数之和为顶点vj的入度(ID(vj))。

（3）第i行和第i列权重大于0、小于无穷的个数之和即为顶点vi的度（TD(vi) = OD(vi) + ID(vj)）。

使用邻接矩阵存储图并创建图的代码示比例如以下：

typedef char VertexType; //顶点类型,由用户自定义
typedef int  EdgeType;   //边上的权值类型,由用户自定义

#define MAX_VEX 20  //最大顶点数,由用户定义
#define	INFINITY 65535 //代表无穷大

typedef struct  
{
	VertexType vexs[MAX_VEX]; //顶点数组
	EdgeType   arc[MAX_VEX][MAX_VEX]; //邻接矩阵
	int vexNum, arcNum; //图中当前定点数和弧数
}Graph;

//定位顶点v在顶点数组的下标位置,不存在返回-1
int LocateVex(Graph *g, VertexType v)
{
	int i = 0;
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		if (g->vexs[i] == v)
			break;
	}
	if (i > g->vexNum)
	{
		fprintf(stderr,"no such vertex.
");
		return -1;
	}
	return i;
}

//用邻接矩阵表示法，构造有/无向网g
void CreateUDN(Graph *g)
{
	int i, j;
	EdgeType w;

	printf("输入顶点数和边数:
");
	scanf("%d,%d", &(g->vexNum), &(g->arcNum));
	//输入顶点
	for(i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		printf("顶点%d:", i + 1);
		g->vexs[i] = getchar();
		while(g->vexs[i] == '
')
		{
			g->vexs[i] = getchar();
		}
	}
	getchar();
	//初始化邻接矩阵
	for (i = 0; i < g->arcNum; i++)
	{
		for (j = 0; j < g->arcNum; j++)
		{
			g->arc[i][j] = INFINITY;  
		}
	}

	printf("输入边(vi, vj)上的顶点vi vj和权值w
");
	for (i = 0; i < g->arcNum; i++)
	{		
		char v1, v2;
		//v1 = getchar();
		//while (v1 == '
')
		//{
		//	v1 = getchar();
		//}
		//v2 = getchar();
		//while (v2 == '
')
		//{
		//	v2 = getchar();
		//}
		//scanf("%d", &w);
		scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);
		getchar();
		int m = LocateVex(g, v1);
		int n = LocateVex(g, v2);
		if (m == -1 || n == -1)
		{
			fprintf(stderr, "no this vertex!
");
			return;
		}
		g->arc[m][n] = w;
#if 0
		g->arc[n][m] = g->arc[m][n];	//无向图的邻接矩阵对称
#endif
	}
}

void PrintGrapth(Graph *g)
{
	for (int i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		for (int j = 0; j < g->vexNum; j++)
		{
			printf("%6d", g->arc[i][j]);
		}
		putchar('
');
	}
}

int main()
{
	Graph g;
	CreateUDN(&g);
	PrintGrapth(&g);
	return 0;
}

创建上文中的有向网图，程序执行演示样例截图：

创建无向网图。执行截图为：

n个顶点和e条边的无向网图的创建。时间复杂度为O(n + n^2 + e·n) = O(n^2 + e·n)，当中第一个n是输入n个顶点。对邻接矩阵的初始化耗费了O(n^2)的时间；对每一条边。定位两个顶点的下标花费了O(n)，因此是O(e·n)。

2.2邻接表

对于边数相对顶点较少的图，邻接矩阵这样的结构会对存储空间造成极大浪费。邻接表（Adjacency List）是图的一种链式存储结构。是数组与链表相结合来存储图。

邻接表的处理方法是这种：
（1）图中顶点用一个一维数组存储。当然顶点也能够用单链表来存储。只是，数组能够较easy的读取顶点的信息。更加方便。
（2）图中每一个顶点vi的全部邻接点构成一个线性表。因为邻接点的个数不定。所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表。有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
比如。下图就是一个无向图的邻接表的结构。

从图中能够看出。顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示：data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点。即此顶点的第一个邻接点。

边表结点由adjvex和next两个域组成：adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标。next则存储指向边表中下一个结点的指针。

对于带权值的网图。能够在边表结点定义中再添加一个weight的数据域。存储权值信息就可以。例如以下图所看到的。

使用邻接表储图并创建网图的代码示比例如以下：

typedef char VertexType;	//顶点类型,由用户自定义
typedef int  EdgeType;	//边上的权值类型,由用户自定义

#define MAX_VEX 20	//最大顶点数,由用户定义

typedef struct EdgeNode	//边表结点
{
	int adjvex;	//邻接点域。存储该顶点在顶点表中的下标
	EdgeType weight;	//网图权值
	struct EdgeNode *next;	//链域。指向下一个邻接点
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode	//顶点表结点
{
	VertexType data;	//顶点域，存储顶点信息
	EdgeNode *firstedge;	//边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAX_VEX];

typedef struct  
{
	AdjList adjList;
	int vexNum, arcNum; //图中当前顶点数和弧数 
}GraphList;

//定位顶点v在顶表的下标位置,不存在返回-1
int LocateVex(GraphList *g, VertexType v)
{
	int i;
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		if (v == g->adjList[i].data )
			break;
	}

	if (i > g->vexNum)
	{
		fprintf(stderr,"no this vertex.
");
		return -1;
	}
	return i;
}

//用邻接表表示法，构造有/无向网g
void CreateGraph(GraphList *g)
{
	int i, j;
	EdgeType w;
	EdgeNode *e, *f;

	printf("输入顶点数和边数:
");
	scanf("%d,%d", &(g->vexNum), &(g->arcNum));

	//输入顶点
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		printf("顶点%d:", i);
		g->adjList[i].data = getchar();
		g->adjList[i].firstedge = NULL;
		while(g->adjList[i].data == '
')
		{
			g->adjList[i].data = getchar();
		}
	}
	getchar();

	//建立边表
	printf("输入边(vi, vj)上的顶点vi vj和权值w
");
	for (i = 0; i < g->arcNum; i++)
	{		
		char v1, v2;
		scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);
		getchar();
		int m = LocateVex(g, v1);
		int n = LocateVex(g, v2);
		if (m == -1 || n == -1)
		{
			fprintf(stderr, "no this vertex!
");
			return;
		}

		//向内存申请空间，生成边表结点
		e = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
		if(e == NULL)
		{
			fprintf(stderr, "malloc() error.
");
			return;
		}
		e->adjvex = n;	//邻接序号为n
		e->weight = w;	//权值
		e->next = g->adjList[m].firstedge; //单链表的头插法
		g->adjList[m].firstedge = e;

#if 0
		//由于是无向网图
		f = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
		if(e == NULL)
		{
			fprintf(stderr, "malloc() error.
");
			return;
		}
		f->adjvex = m;
		f->weight = w;
		f->next = g->adjList[n].firstedge;
		g->adjList[n].firstedge = f;
#endif
	}
}

void PrintGrapth(GraphList *g)
{
	int i;
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		printf("顶点%c ", g->adjList[i].data) ;
		EdgeNode *e = g->adjList[i].firstedge;
		while (e != NULL)
		{
			printf("—> <%c, %c> %d  ", g->adjList[i].data, g->adjList[e->adjvex].data, e->weight);
			e = e->next;
		}
		putchar('
');
	}
}

int main()
{
	GraphList g;
	CreateGraph(&g);
	PrintGrapth(&g);
	return 0;
}

创建上文中的有向网图，程序执行演示样例截图：

若创建无向网图。执行截图为：

对于n个顶点e条边。本算法的时间复杂度是O(n + e·n)，由于输入的顶点信息不是顶点的编号。须要通过查找才可以得到顶点在图中的位置。

假设输入的是顶点的编号。那么仅仅须要O(n+e)的时间复杂度。

对于有向图，邻接表能够方便的求某一个顶点的出度，可是不方便求入度。须要遍历整个边表。逆邻接表能够方便求入度。但不方便求出度。

另外关于图的存储结构还有：十字链表、邻接多重表。

3、图的遍历

图的遍历(Traversing Graph)：从图中某一顶点出发訪遍图中其余顶点，且使每个顶点仅被訪问一次。

图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。

3.1深度优先搜索

深度优先搜索(Depth First Search)，简称DFS，其遍历类似树的前序遍历。
它从图中某个结点v出发，訪问此顶点。然后从v的未被訪问的邻接点出发深度优先遍历图。直至图中全部和v有路径相通的顶点都被訪问到。

若图中尚有顶点未被訪问，则另选图中一个未曾被訪问的顶点作起始点。反复上述过程，直至图中的全部顶点都被訪问到为止。

邻接矩阵存储结构的DFS代码：

bool visited[MAX_VEX];//訪问标志数组

//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(Graph *g, int i)
{
	int j;
	visited[i] = true;
	printf("%c ", g->vexs[i]);	//打印顶点。也能够是其它操作
	for (j = 0; j < g->vexNum; j++)
		if (g->arc[i][j] > 0 && g->arc[i][j] != INFINITY && !visited[j])
			DFS(g, j);
}

//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(Graph *g)
{
	int i;
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
		visited[i] = false;		//初始化全部顶点状态都是未訪问过状态
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
		if (!visited[i])
			DFS(g, i);		   //对未訪问的顶点调用DFS.若是连通图。仅仅会运行一次
}

邻接表存储结构的DFS代码：

//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(GraphList *g, int i)
{
	EdgeNode *e;
	visited[i] = true;
	printf("%c ", g->adjList[i].data);	//打印顶点，也能够是其它操作
	for (e = g->adjList[i].firstedge; e != NULL; e = e->next)
		if (!visited[e->adjvex])
			DFS(g, e->adjvex);
}

//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphList *g)
{
	int i;
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
		visited[i] = false;		//初始化全部顶点状态都是未訪问过状态
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
		if (!visited[i])
			DFS(g, i);		   //对未訪问的顶点调用DFS.若是连通图，仅仅会运行一次
}

对于n个顶点e条边的图来说。邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点须要訪问矩阵中的全部元素，由于须要O(n^2)的时间。而邻接表做存储结构时。找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

3.2广度优先搜索

广度优先搜索(Breadth First Search)，简称DFS。其遍历类似树的层次遍历。

如果从图中某顶点v出发。在訪问了v之后依次訪问v的各个未曾訪问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次訪问它们的邻接点。并使“先被訪问的顶点的邻接点“先于“后被訪问的顶点的邻接点”被訪问。直至图中全部已被訪问的顶点的邻接点都被訪问到。若此时图中尚有顶点未被訪问，则选中图中一个未曾被訪问的顶点 作起始点，反复上述过程直至图中全部顶点都被訪问到为止。

//邻接矩阵的BFS
void BFSTraverse(Graph *g)
{
	SqQueue q;
	int v;
	for (v = 0; v < g->vexNum; v++)
		visited[v] = false;
	InitQueue(q);		 //辅助队列
	for (v = 0; v < g->vexNum; v++)
		if (!visited[v])	//第v个顶点尚未訪问
		{
			visited[v] = true;
			printf("%c ", g->vexs[v]);	 //打印顶点，也能够是其它操作
			EnQueue(q, v);	//第v个顶点入队列
			while (!QueueEmpty(q))
			{
				int i;
				DeQueue(q, i);
				for (int j = 0; j < g->vexNum; j++)	  
					//推断其它顶点若与当前顶点存在边且未訪问过
					if (g->arc[i][j] > 0 && g->arc[i][j] != INFINITY && !visited[j])
					{
						visited[j] = true;		 //j为i尚未訪问过的邻接顶点
						printf("%c ", g->vexs[j]);	 
						EnQueue(q, j);	
					}  //if
			}//while
		}//if
}

//邻接表的BFS
void BFSTraverse(GraphList *g)
{
	SqQueue q;
	int i;
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
		visited[i] = false;
	InitQueue(q);
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
		if (!visited[i])
		{
			visited[i] = true;
			printf("%c ", g->adjList[i].data);
			EnQueue(q, i);
			while (!QueueEmpty(q))
			{
				int j;
				DeQueue(q, j);
				//找到当前顶点边表链表头指针
				for (EdgeNode *e = g->adjList[j].firstedge; e != NULL; e = e->next)
					if (!visited[e->adjvex])
					{
						visited[e->adjvex] = true;
						printf("%c ", g->adjList[e->adjvex].data);
						EnQueue(q, e->adjvex);
					}  //if
			}//while
		}  //if
}

图的深度优先遍历与广度优先遍历算法在时间复杂度上是一样的。不同之处只在于对顶点的訪问顺序不同。

參考：数据结构（C语言版）

本文所有測试代码：http://download.csdn.net/detail/u013071074/7445893

蓝色梦魔

2014.6.4。16：20

再參考：经典算法研究系列：四、教你彻底了解透明：BFS和DFS优先搜索算法（这个精心编写博客撰文系列）

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