算法导论-快速排序

一、快速排序的描述

快速排序是基于分治策略的。对一个子数组A[p…r]快速排序的分治过程的三个步骤为：

1、分解

数组A[p…r]被划分成两个（可能空）子数组A[p…q-1]和A[q+1…r]，使得A[p…q-1]中的每个元素都小于等于A[q]，且小于等于A[q+1…r]中的元素。下标q也在这个划分过程中进行计算。

2、解决

通过递归调用快速排序，对子数组A[p…q-1]和A[q+1…r]排序。

3、合并

因为两个子数组就是原地排序的，将它们的合并不需要操作：整个数组A[p…r]已排序。

快速排序的参考代码如下：

class Solution
{
public:
    void QuickSort(int *a, int length);
    void QSort(int *a, int low, int high);
    int Partition(int *a, int low, int high);
};

void Solution::QuickSort(int *a, int length)
{
    QSort(a, 0, length - 1);
}

void Solution::QSort(int *a, int low, int high)
{
    if (low < high)
    {
        int p = Partition(a, low, high);
        QSort(a, low, p - 1);
        QSort(a, p + 1, high);
    }
}

int Solution::Partition(int *a, int low, int high)
{
    int key = a[high], tmp;
    int i = low - 1, j;

    for (j = low; j < high; ++j)
    {
        if (a[j] <= key)
        {
            i = i + 1;

            tmp = a[j];            //交换a[j]和a[i]
            a[j] = a[i];
            a[i] = tmp;
        }
    }

    tmp = a[high];                //交换a[high]和a[i + 1]
    a[high] = a[i + 1];
    a[i + 1] = tmp;

    return i + 1;
}

函数Partition()的另外一种直观写法如下：

int Solution::Partition(int *a, int low, int high)
{
    int key = a[low];
    
    while (low < high)
    {
        while (low < high && key <= a[high])
        {
            --high;
        }
        a[low] = a[high];

        while (low < high && key >= a[low])
        {
            ++low;
        }
        a[high] = a[low];
    }
    a[low] = key;

    return low;
}

二、快速排序的性能

快速排序的运行时间与划分是否对称有关，而后者又与选择了哪一个元素来进行划分有关。如果划分是对称的，算法从渐进意义上就与归并排序一样快；如果划分是不对称的，算法从渐进意义上就和插入算法一样慢。函数Partition()在子数组A[p…r]上的运行时间为，其中n=r-p+1。

1、最坏情况划分

最坏情况划分发生在划分过程中产生的两个区域分别包含n-1个元素和1个0元素的时候。假设算法的每一次递归调用都出现这种不对称划分。划分的时间代价为，对一个大小为0的数组进行递归调用的时间代价为，算法的运行时间可表示为：

，解出。

因此，如果在算法的每一层递归上，划分都是最大程度不对称的，算法的运行时间就是。从而，快速排序算法的最坏情况运行时间并不比插入排序的更好。例如：当输入数组已经完全排好序时，快速排序的运行时间为，插入排序的运行时间为。

2、最佳情况划分

函数Partition()可能做的最平衡的划分中，得到的两个子问题的大小接近n/2。在这种情况下，快速排序运行的速度要快得多。算法的运行时间可表示为：，解出。

3、平衡的划分

快速排序的平均情况运行时间与其最佳情况运行时间很接近，而不是非常接近于其最坏情况运行时间。例如：假设划分过程总是产生9:1的划分，算法的运行时间可表示为：。这一递归式对应的递归树如图：

该树每层代价都是cn，直到在深度处终止。这样快速排序的总代价为。

在递归的每一层上按照9:1的比例进行划分，直观上看好像相当不平衡，但从渐进意义上，这与在正中间划分的效果是一样的。事实上按照99:1划分运行时间也为，原因在于任何一种按照常数比例进行的划分都会产生深度为的递归树，其中每一层的代价为，因而，每当按照常数比例划分时，总的运行时间都是。

三、结论

1、优点：因为每趟可以确定不止一个元素的位置，而且呈指数增加，所以特别快。前提：顺序存储结构。

2、改变划分元素的选取方法，至多只能改变算法平均情况下的时间性能，无法改变最坏情况下的时间性能。

3、是一种不稳定的排序算法，是原地排序。

4、对包含n个数的输入数组，最坏运行时间为。虽然这个最坏情况运行时间比较差，但快速排序通常是用于排序的最佳实用选择，因为其平均性能为，且记号中隐含的常数因子很小。在虚拟环境中也能很好地工作。