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  • nyoj 139 我排第几个(康托展开)

    康托展开

      康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
      这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
    X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
    关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
    a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
    a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
    a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
    a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
    所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20


    A B C | 0
    A C B | 1
    B A C | 2
    B C A | 3
    C A B | 4
    C B A | 5

    通过康托逆展开生成全排列

      如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
      因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
    3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
    等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:

    知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
    这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回  s 的第 m 个排列。

    前边内容参考http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/6966805#

    现在结合一个题来详细说明康托展开:

     

                      我排第几个

     

                      时间限制:1000 ms  |            内存限制:65535 KB       难度:3

     

    描述

    现在有"abcdefghijkl”12个字符,将其所有的排列中按字典序排列,给出任意一种排列,说出这个排列在所有的排列中是第几小的?

    输入
    第一行有一个整数n(0<n<=10000); 随后有n行,每行是一个排列;
    输出
    输出一个整数m,占一行,m表示排列是第几位;
    样例输入
    3
    abcdefghijkl
    hgebkflacdji
    gfkedhjblcia
    样例输出
    1
    302715242
    260726926


     1 #include<stdio.h>
     2 #include<string.h>
     3 #define COUNT 13
     4 char ch[COUNT] = "abcdefghijkl";
     5 char str[COUNT];
     6 int fac[13] ={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800,479001600};
     7 int main()
     8 {
     9     int n;
    10     scanf("%d",&n);
    11     while(n--)
    12     {
    13         scanf("%s",str);
    14         int cou = 0;
    15         int temp ;
    16         int len = strlen(str);
    17         for(int i=0;i<len;i++)
    18         {
    19         
    20             temp =0;
    21             for(int j=i+1;j<len;j++)
    22             {
    23                 
    24                 if(str[j]<str[i])
    25                     temp++;
    26                 
    27             }
    28             cou+=fac[len-i-1]*temp;
    29         }
    30         printf("%d",cou+1);
    31     }
    32     return 0;
    33 }

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mengyan1124/p/4419143.html
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