背包问题---递归及动态规划

一、原题

如果有一组物品，各个物品的质量已知，现有一个背包，背包可以容纳的质量总和S已知，问是否能从这N个物品中取出若干个恰好装入这个背包中。

二、递归算法

本质思想：设法尝试全部组合，当部分组合已经无法满足条件时，马上停止当前组合的尝试；若出现第一个满足条件的组合，马上停止尝试。使用递归回溯法实现。（感觉这东西不是我这样的菜鸟可以说明确的，还得自己慢慢体会，最好的方法就是耐住性子跟踪调试）。

上“酸菜”

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 7						//物品种类
#define S 15					//背包容量
int w[N+1]={0,1,4,3,4,5,2,7};	//各种物品的质量

bool knap(int s,int n)			//s代表背包剩余容量，n代表还未尝试装载的物品种类
{
	if(s==0)					//恰好装完
	{
		return true;
	}
	if(s<0 || (s>0 && n<1))		//不能完毕装载
	{
		return false;
	}
	
	if(knap(s-w[n],n-1))		//当前物品可以装载，则递归
	{
		printf("%d	",w[n]);
		return true;
	}
	else
	{
		return knap(s,n-1);		//当前物品不能装载，取下一物品进行递归
	}
}

int main(void)
{
	if(knap(S,N))
	{
		printf("OK!!!
");
	}
	else
	{
		printf("NO!!!
");
	}
	
	system("pause");
	return 0;
}

上面的代码只输出了第一个满足条件的组合，那么如何输出所有的有效组合呢？

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 7
#define S 15
int w[N+1]={0,1,4,3,4,5,2,7};

//
int save[N+1]={0};			//标记数组

int knap(int s,int n)
{
	if(s==0)
	{
		return 1;
	}
	if(s<0 || (s>0 && n<1))
	{
		return 0;
	}

	if(knap(s-w[n],n-1))
	{
		//printf("%4d",w[n]);
		//
		save[n]=1;
		return 1;
	}
	return knap(s,n-1);
}

void showSet(void)
{
	for(int i=N;i>0;i--)
	{
		if(save[i]==1)
		{
			printf("%4d",w[i]);
		}
	}
}

int main(void)
{
	bool flag;
	for(int i=N;i>0;i--)					//不断降低物品的种类，以便遍历全部组合
	{
		//
		for(int m=0;m<N+1;m++)
		{
			save[m]=0;
		}


		if(knap(S,i))
		{
			showSet();
			printf("
OK!
");
			//
			flag=true;								//当物品种类为i时，存在有效组合
		}
		else
		{
			//printf("
NO!
");
			flag=false;
		}
		
		//
		while(flag)
		{
			int j=N;
			int cnt=0;
			int s_index=0;
			while(j!=0 && cnt!=2)
			{
				if(save[j]==1)
				{
					cnt++;
				}
				if(cnt==1)
				{
					s_index=j;
				}
				j--;
			}
			if(cnt==2)
			{
				for(int k=0;k<s_index;k++)
				{
					save[k]=0;
				}

				if(knap(S-w[s_index],j))				//从有效组合第二个物品的下一个物品開始寻找
				{
					showSet();
					printf("
OK!
");
				}
				else
				{
					flag=false;
				}
				
			}
			else
			{
				flag=false;
			}
		}

	}

	system("pause");
	return 0;
}

举例来讲，因为第一个有效的组合是7，2，5，1，所下面一次从2的下一个数開始搜索，背包的容量变成8=15-7.

三、动态规划方法

详见參考1，这里可以将物品的质量作为它的价值，那么假设最大价值dp[N][S]等于S，则说明背包可以恰好装满。

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 7
#define S 15
#define max(a,b) a>b?a:b

int w[N+1]={0,1,4,3,4,5,2,7};	//各种物品的质量

int main(void)
{
	int i,j;
	int dp[N+1][S+1];

	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		for(j=0;j<S+1;j++)
		{
			if(j>=w[i])
			{
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+w[i]);		//转移方程，当中w[i]能够看做各物品的价值
			}
			else
			{
				dp[i][j]=dp[i-1][j];
			}
		}
	}

	printf("%d
",dp[N][S]);
	if(dp[N][S]==S)
	{
		printf("OK!!!
");
	}
	else
	{
		printf("NO!!!
");
	}

	system("pause");
	return 0;
}

四、其他背包相关问题

依据以上分析，加以变通就可以。