算法7-5：连接部件

同学们一定用过Windows中的绘图吧。那么绘图中的油漆桶功能是怎样实现的呢？

这个问题能够通过DFS深度优先搜索解决。

目标

我们要实现的目标是在常数的时间内推断某两个节点是否连接。

前面章节中介绍了并查集算法，并查集确实能够解决问题。我们今天来介绍第二种办法，那就是DFS深搜。

为了解决问题专门建立一个对象，对象的轮廓例如以下：

public class ConnectedComponnent {
    public ConnectedComponnent(Graph G) {
    }
 
    // 推断两个顶点是否连接
    public boolean connected(int v, int w) {
    }
 
    // 连接部件的个数
    public int count() {
    }
 
    // 顶点所在的连接部件的编号
    public int id(int v) {
    }
}

数学定义

推断两个顶点是否连接在离散数学中是等价关系，它具有：

反射性：v和v是连接的

对称性：假设v和w是连接的，那么w和v也是连接的

传递性：假设v和w是连接的，w和z是连接的，那么v和z也是连接的

连接部件的定义：相互连接的顶点最大集合。

问题解决

为了解决上述的问题，首先要对图进行预处理。预处理的目标就是区分图中的连接部件。

区分连接部件的过程例如以下：

1. 将全部的顶点都标记为未訪问

2. 对于每一个未訪问的顶点，使用DFS标记部件编号

代码

public class ConnectedComponnent {
    private boolean[] visited;
    private int[] id;
    private int count;
 
    public ConnectedComponnent(Graph G) {
        visited = new boolean[G.V()];
        id = new int[G.V()];
        cc(G);
    }
 
    // 推断两个顶点是否连接
    public boolean connected(int v, int w) {
        return id[v] == id[w];
    }
 
    // 连接部件的个数
    public int count() {
        return count;
    }
 
    // 顶点所在的连接部件的编号
    public int id(int v) {
        return id[v];
    }
 
    private void cc(Graph G) {
        for (int i = 0; i < G.V(); i++) {
            if (!visited[i]) {
                dfs(G, i);
                count++; // 注意：这句话不能放在if之外。不然count总是等于顶点数量
            }
        }
    }
 
    private void dfs(Graph G, int v) {
        visited[v] = true;
        id[v] = count;
        for (int w : G.adj(v)) {
            if(!visited[w]) {
                dfs(G, w);
            }
        }
    }
}

应用

下图是某高校的人际关系图。假设把人际关系看成一张图，那么这里面就能够非常清楚地看到有大大小小的连接部件。

探測星空图中的星星数量。