整数划分问题

整数划分问题

时间限制(普通/Java):5000MS/10000MS          执行内存限制:65536KByte
总提交:235            測试通过:158

描写叙述

将一个正整数n表示成一系列正整数之和，n＝n₁+ n₂+…+ n_k(当中，n₁≥n₂≥…≥n_k≥1，k≥1).正整数n的这样的表示称为正整数n的划分。正整数n的不同的划分个数称为正整数n的划分数，记作P(n)。

比如，正整数6有例如以下11种不同的划分，所以P(6)＝11.

6；

5+1；

4+2，4+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1.

输入

測试文件有多个測试数据，每一个測试数据为一个正整数n(1≤n≤100)，占一行。

输出

对每一个測试数据计算其划分数P(n)，每一个结果占一行。

例子输入

6
2

例子输出

11
2

递归法解释比較麻烦，贴百度的

在正整数 n 全部不同的划分中，将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作 q(n,m) ，称它为属于 n 的一个 m 划分。依据 n 和 m 的关系，考虑下面几种情况：  

        （ 1 ）当 n=1 时，不论 m 的值为多少（ m>0) ，仅仅有一种划分即 {1};

        (2)  当 m=1 时，不论 n 的值为多少，仅仅有一种划分即 n 个 1 ， {1,1,1,...,1};

        (3)  当 n=m 时，依据划分中是否包括 n ，能够分为两种情况：

              (a). 划分中包括 n 的情况，仅仅有一个即 {n} ；

              (b). 划分中不包括 n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的全部 (n-1) 划分。

              因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

        (4) 当 n<m 时，因为划分中不可能出现负数，因此就相当于 q(n,n);

        (5) 但 n>m 时，依据划分中是否包括最大值 m ，能够分为两种情况：

               (a). 划分中包括 m 的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 当中 {x1,x2,... xi}  的和为 n-m ，可能再次出现 m ，因此是（ n-m ）的 m 划分，因此这样的划分个数为 q(n-m, m);

               (b). 划分中不包括 m 的情况，则划分中全部值都比 m 小，即 n 的 (m-1) 划分，个数为 q(n,m-1);

              因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

 

         综合以上情况，我们能够看出，上面的结论具有递归定义特征，当中（ 1 ）和（ 2 ）属于边界条件，（ 3 ）和（ 4 ）属于特殊情况，将会转换为情况（ 5 ）。而情况 （ 5 ）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小 m 以达到边界条件，从而解决这个问题。其递推表达式例如以下：

                                                   0                                            n<1 或 m<1

                                                         1                                            n=1 或 m=1

                         q(n,m)     =               q(n,n)                                    n<m

                                                          1+q(n,n-1)                            n=m

                                                           q(n,m-1)+q(n-m,m)               n>m>1

据此，可设计计算 q(n,m) 的递归算法例如以下。当中，正整数 n 的划分数 P(n)=q(n,n) 。

AC代码例如以下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define M 1000005
#define ll long long
using namespace std;

int dfs(int a,int b)
{
    if(a==1||b==1)
        return 1;
    if(b>a)
        return dfs(a,a);
    if(b==a)
        return dfs(a,b-1)+1;

    if(a>b)
        return dfs(a-b,b)+dfs(a,b-1);
}

int main()
{
    int i,n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d
",dfs(n,n));
    }
    return 0;
}

耗时较长，将递归转化为二维数组写法的递推

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define M 1000005
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    int a[105][105];
    int i,j,n;
    for(i=1;i<=100;i++)
    {
        a[i][1]=1;
        a[1][i]=1;
    }
    for(i=2;i<=100;i++)
    {
        for(j=2;j<=100;j++)
        {
            if(i==j)
                a[i][j]=1+a[i][j-1];
            if(i<j)
                a[i][j]=a[i][i];
            if(i>j)
                a[i][j]=a[i-j][j]+a[i][j-1];
        }
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d
",a[n][n]);
    }
    return 0;
}