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  • GMM高斯混合模型学习笔记(EM算法求解)

        提出混合模型主要是为了能更好地近似一些较复杂的样本分布,通过不断添加component个数,能够随意地逼近不论什么连续的概率分布。所以我们觉得不论什么样本分布都能够用混合模型来建模。由于高斯函数具有一些非常有用的性质。所以高斯混合模型被广泛地使用。


        GMM与kmeans相似,也是属于clustering,不同的是。kmeans是把每一个样本点聚到当中一个cluster,而GMM是给出这些样本点到每一个cluster的概率。每一个component就是一个聚类中心。


        GMM(Gaussian Mixture Model)高斯混合模型,由K个不同的Gaussian线性组合而成,每一个Gaussian是混合模型的一个component,GMM的概率密度函数例如以下:

    p(x)=k=1Kp(k)(x|k)=k=1Kπk(x|μk,k)

        依据上式。从GMM中生成一个样本点x分两步:
        1,从K个component中随机的选择一个
        2。从该component中选择一个点

        參数说明:N个样本点。K个component,μk,k 是第k个component的均值和协方差矩阵,是模型參数,是须要预计的。

    πk是mixing coefficient,表示第k个component被选中的概率。πk=1NNn=1znk,也是模型參数。须要预计。N是高斯(正态)分布。

        对一个样本集建立高斯混合模型的过程,就是依据已知样本集X反推高斯混合模型的參数(μ,,π),这是一个參数预计问题。首先想到用最大似然的方法求解,也就是,要确定參数π,μ,使得它所确定的概率分布生成这些样本点的概率最大。这个概率也就是似然函数,例如以下:

    p(x)=n=1Np(xi)

    而一般对于单个样本点其概率较小。多个相乘后更小,easy造成浮点数下溢,所以通常是对似然函数求log,变成加和形式:
    i=1Nlnp(xi)

        这个叫做log似然函数,目标是要最大化它。用log似然函数对參数分别求偏导。令偏导等于0,可求解得參数。
        然而。GMM的log似然函数是例如以下形式:
    lnp(X)=i=1Nln[k=1Kπk(xi|μk,k)]

        能够看到对数中有求和,直接求导求解将导致一系列复杂的运算,故考虑使用EM算法。(详细思路见上一篇:EM算法学习笔记

        考虑GMM生成一个样本点的过程,这里对每一个xi引入隐变量z,z是一个K维向量,如果生成xi时选择了第k个component,则zk=1,其它元素都为0。Kk=1zk=1.
        如果z是已知的。则样本集变成了{X,Z},要求解的似然函数变成了:

    p(X,Z|μ,,π)=n=1Nk=1Kπznkk(xn|μk,k)znk

    log似然函数为:
    lnp(X,Z|μ,,π)=n=1Nk=1Kznk[lnπk+ln(xn|μk,k)].()

        能够看到,这次ln直接对Gaussian作用,求和在ln外面,所以能够直接求最大似然解了。

    1,初始化一组模型參数π,μ,
    2,E-step


        然而。其实z是不知道的。我们仅仅是如果z已知。

    而z的值是通过后验概率观測。所以这里考虑用z值的期望在上述似然函数中取代z。
        对于一个样本点x

    p(z)=k=1Kπzkk

    p(x|zk=1)=(x|μk,k)

    p(x|z)=k=1K(x|μk,k)zk

    p(x)=zp(z)p(x|z)=k=1Kπk(x|μk,k)

        后验概率(固定μ,,π):
    p(z|x,μ,,π)=p(x|z)p(z)p(x)n=1Nk=1K[πk(xn|μk,k)]znk

        由于{zn}之间是相互独立的。
        计算z期望γ(znk)(z向量仅仅有一个值取1,其余为0):
    γ(znk)=E[znk]=0p(znk=0|xn)+1p(znk=1|xn)=p(znk=1|xn)=p(znk=1)p(xn|znk=1)p(xn)=πk(x|μk,k)Kj=1πj(x|μj,j).

        将z值用期望取代。则待求解的log似然函数(*)式变为:

    Ez[lnp(X,Z|μ,,π)]=n=1Nk=1Kγ(znk)[lnπk+ln(xn|μk,k)].

    3,M-step


        如今能够最大化似然函数求解參数了,首先对μ求偏导,令偏导等于0。可得:

    n=1Nk=1Kγ(znk)k(xnμk)=0

    μk=1Nkn=1Nγ(znk)xnNk=n=1Nγ(znk).

    Nk 是“the effective number of points assigned to cluster k”.
        再对k求偏导,令偏导等于0,可得:
    k=1Nkn=1Nγ(znk)(xnμk)(xnμk)T

        接下来还需求解π。注意到π需满足Kk=1πk=1。所以这是一个带等式约束的最大值问题。使用拉格朗日乘数法。
        构造拉格朗日函数:

    L=lnp(X|π,μ,)+λ(k=1Kπk1).

        对π求导,令导数为0:
    n=1N(x|μk,k)Kj=1πj(x|μj,j)+λ=0

        两边同乘πk得:
    n=1Nγ(znk)+λπk=0

    Nk+λπk=0

        两边对k求和:
    k=1KNk+k=1Kλπk=0

    N+λ=0

        可得:λ=N
        代入可得:πk=NkN.

    4,检查是否收敛
        反复E-step和M-step两步。直到收敛,就可以求得一个局部最优解。


    GMM的建模步骤例如以下图(k=2,高斯分布是蓝色和红色圈):
    gmm


    主要參考资料:
    《Pattern Recognization and Machine Learning》
    帮助理解:
    http://blog.pluskid.org/?p=39

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mfrbuaa/p/5111355.html
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