程序员编程艺术：第七章、求连续子数组的最大和

作者：July。
出处：http://blog.csdn.net/v_JULY_v 。

前奏

• 希望更多的人能和我一样，把本狂想曲系列中的任何一道面试题当做一道简单的编程题或一个实质性的问题来看待，在阅读本狂想曲系列的过程中，希望你能尽量暂时放下所有有关面试的一切包袱，潜心攻克每一道“编程题”，在解决编程题的过程中，好好享受编程带来的无限乐趣，与思考带来的无限激情。--By@July_____。
• 原狂想曲系列已更名为：程序员编程艺术系列。原狂想曲创作组更名为编程艺术室。编程艺术室致力于以下三点工作：1、针对一个问题，不断寻找更高效的算法，并予以编程实现。2、解决实际中会碰到的应用问题，如第十章、如何给10^7个数据量的磁盘文件排序。3、经典算法的研究与实现。总体突出一点：编程，如何高效的编程解决实际问题。欢迎有志者加入。

第一节、求子数组的最大和
3.求子数组的最大和
题目描述：
输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，
因此输出为该子数组的和18。

分析：这个问题在各大公司面试中出现频率之频繁，被人引用次数之多，非一般面试题可与之匹敌。单凭这点，就没有理由不入选狂想曲系列中了。此题曾作为本人之前整理的微软100题中的第3题，至今反响也很大。ok，下面，咱们来一步一步分析这个题：
      1、求一个数组的最大子数组和，如此序列1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，我想最最直观也是最野蛮的办法便是，三个for循环三层遍历，求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。
记Sum[i, …, j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和（其中0 <= i <= j < n），遍历所有可能的Sum[i, …, j]，那么时间复杂度为O（N^3）：

//本段代码引自编程之美
int MaxSum(int* A, int n)
{
 int maximum = -INF; 
 int sum=0;   
 for(int i = 0; i < n; i++)
 {
  for(int j = i; j < n; j++)
  {
   for(int k = i; k <= j; k++)
   {
    sum += A[k];
   }
   if(sum > maximum)
    maximum = sum;

   sum=0;   //这里要记得清零，否则的话sum最终存放的是所有子数组的和。也就是编程之美上所说的bug。多谢苍狼。
  }
 }
 return maximum;
} 

      2、其实这个问题，在我之前上传的微软100题，答案V0.2版[第1-20题答案]，便直接给出了以下O（N）的算法：

//copyright@ July 2010/10/18
//updated，2011.05.25.
#include <iostream.h>

int maxSum(int* a, int n)
{
    int sum=0;
    //其实要处理全是负数的情况，很简单，如稍后下面第3点所见，直接把这句改成："int sum=a[0]"即可
    //也可以不改，当全是负数的情况，直接返回0，也不见得不行。
    int b=0;

    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(b<0)           //...
            b=a[i];
        else
            b+=a[i];
        if(sum<b)
            sum=b;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int a[10]={1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
    //int a[]={-1,-2,-3,-4};  //测试全是负数的用例
    cout<<maxSum(a,8)<<endl;
    return 0;
}

/*-------------------------------------
解释下：
例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，
那么最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，
因此输出为该子数组的和18。

所有的东西都在以下俩行，
即：
b  ：  0  1  -1  3  13   9  16  18  13
sum：  0  1   1  3  13  13  16  18  18

其实算法很简单，当前面的几个数，加起来后，b<0后，
把b重新赋值，置为下一个元素，b=a[i]。
当b>sum，则更新sum=b;
若b<sum，则sum保持原值，不更新。。July、10/31。
----------------------------------*/

      3、不少朋友看到上面的答案之后，认为上述思路2的代码，没有处理全是负数的情况，当全是负数的情况时，我们可以让程序返回0，也可以让其返回最大的那个负数，下面便是前几日重写的，修改后的处理全是负数情况（返回最大的负数）的代码：

//copyright@ July
//July、updated，2011.05.25。
#include <iostream.h>
#define n 4           //多定义了一个变量

int maxsum(int a[n])
//于此处，你能看到上述思路2代码（指针）的优势
{
    int max=a[0];       //全负情况，返回最大数
    int sum=0;
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        if(sum>=0)     //如果加上某个元素，sum>=0的话，就加
            sum+=a[j];
        else
            sum=a[j];  //如果加上某个元素，sum<0了，就不加
        if(sum>max)
            max=sum;
    }
    return max;
}

int main()
{
    int a[]={-1,-2,-3,-4};
    cout<<maxsum(a)<<endl;
    return 0;
}

      4、DP解法的具体方程：@ flyinghearts：设sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，result 为已找到的子数组中和最大的。对第i+1个元素有两种选择：做为新子数组的第一个元素、放入前面找到的子数组。
sum[i+1] = max(a[i+1], sum[i] + a[i+1])
result = max(result, sum[i])
 

扩展：
1、如果数组是二维数组，同样要你求最大子数组的和列?
2、如果是要你求子数组的最大乘积列?
3、如果同时要求输出子段的开始和结束列?

第二节、Data structures and Algorithm analysis in C

下面给出《Data structures and Algorithm analysis in C》中4种实现。

//感谢网友firo
//July、2010.06.05。

//Algorithm 1:时间效率为O(n*n*n)
int MaxSubsequenceSum1(const int A[],int N)
{
    int ThisSum=0 ,MaxSum=0,i,j,k;
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=i;j<N;j++)
        {
            ThisSum=0;
            for(k=i;k<j;k++)
                ThisSum+=A[k];

            if(ThisSum>MaxSum)
                MaxSum=ThisSum;
        }
        return MaxSum;
}

//Algorithm 2:时间效率为O(n*n)
int MaxSubsequenceSum2(const int A[],int N)
{
    int ThisSum=0,MaxSum=0,i,j,k;
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        ThisSum=0;
        for(j=i;j<N;j++)
        {
            ThisSum+=A[j];
            if(ThisSum>MaxSum)
                MaxSum=ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

//Algorithm 3:时间效率为O(n*log n)
//算法3的主要思想：采用二分策略，将序列分成左右两份。
//那么最长子序列有三种可能出现的情况，即
//【1】只出现在左部分.
//【2】只出现在右部分。
//【3】出现在中间，同时涉及到左右两部分。
//分情况讨论之。
static int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right)
{
    int MaxLeftSum,MaxRightSum;              //左、右部分最大连续子序列值。对应情况【1】、【2】
    int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;  //从中间分别到左右两侧的最大连续子序列值，对应case【3】。
    int LeftBorderSum,RightBorderSum;
    int Center,i;
    if(Left == Right)Base Case
        if(A[Left]>0)
            return A[Left];
        else
            return 0;
        Center=(Left+Right)/2;
        MaxLeftSum=MaxSubSum(A,Left,Center);
        MaxRightSum=MaxSubSum(A,Center+1,Right);
        MaxLeftBorderSum=0;
        LeftBorderSum=0;
        for(i=Center;i>=Left;i--)
        {
            LeftBorderSum+=A[i];
            if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)
                MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;
        }
        MaxRightBorderSum=0;
        RightBorderSum=0;
        for(i=Center+1;i<=Right;i++)
        {
            RightBorderSum+=A[i];
            if(RightBorderSum>MaxRightBorderSum)
                MaxRightBorderSum=RightBorderSum;
        }
        int max1=MaxLeftSum>MaxRightSum?MaxLeftSum:MaxRightSum;
        int max2=MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum;
        return max1>max2?max1:max2;
}

//Algorithm 4:时间效率为O(n)
//同上述第一节中的思路3、和4。
int MaxSubsequenceSum(const int A[],int N)
{
    int ThisSum,MaxSum,j;
    ThisSum=MaxSum=0;
    for(j=0;j<N;j++)
    {
        ThisSum+=A[j];
        if(ThisSum>MaxSum)
            MaxSum=ThisSum;
        else if(ThisSum<0)
            ThisSum=0;
    }
    return MaxSum;
}

  

本章完。