位运算

其实位运算很好理解，又比较好用，状态分明，易于想象，反正不是1就是0

还算轻松的开头

---

 基础算术位运算

与  and  &：两者都为1则为1，其他情况都为0

或    or    |：两者都为0则为0，其他情况都为1

非  not   ~：对于一个二进制数，每位取反，0变为1,1变为0

亦或 xor ^：两者相同则为0，不同则为1

补码

unsigned int：32位无符号整数  可以直接把32位编码看成32位二进制数

int：32位有符号整数  最高位表示正负，0为正，1为负

对于int型数，正数补码为它本身，负数补码为除符号位外所有位取反后再+1

所以对于一个int数x，全部位取反后得到的数为-1-x

已知补码求原码：

如果补码的符号位为0，表示是一个正数，其原码就是补码。

如果补码的符号位为1，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

 

反码

正数的原码、补码、反码都相同，都等于它本身

负数的反码是，符号位不变，其余各位求反

负数反码末位加上1就是补码

注意点：

对一个数取反是对这个数的补码取反

电脑保存的二进制数都是它的补码，在补码下每个数都有唯一表示方式

两个数值做加减法运算，实质上是它们的补码做最高位不进位的二进制加减法运算

表示

在写程序的时候，常用十六进制来表示一个数，共8个字符，每个字符代表二进制中4个位

用“0x”开头，声明进制

后面跟上代表四位二进制数的字符（0~9，A~F）

例如：3  ->  000……0011  ->  0x00000003（0011对应的十六进制为3）

虽然int型最大正整数应该是0x7FFFFFFF，但一般用0x3F3F3F3F来表示最大值

移位运算

左移

在二进制表示下所有位的数同时向左移动，低位0填充，高位如果超过范围就舍弃

易得：1<<n=2ⁿ  n<<1=2*n

右移

在二进制表示下所有位的数同时向右移动，低位超过范围舍弃，高位以符号位填充

n>>1=n/2

等于除以2向下取整，但整数/2在c++中实现为向零取整

所以，正数右移1位和除以2相同，但负数就不一样。例：(-3)>>1==-2，(-3)/2=-1

二进制状态压缩

用二进制数表示状态，典型运用状态压缩dp

取出整数n在二进制表示下的第k位     (n>>k)&1

取出整数n在二进制表示下的第0~k-1位（即后k位）  n&((1<<k)-1)

把整数n在二进制表示下的第k位取反    n^(1<<k)

把整数n在二进制表示下的第k位赋值为1    n|(1<<k)

把整数n在二进制表示下的第k位赋值为0    n&(~(1<<k))

lowbit运算

lowbit(x)指非负整数x在二进制表示下 最低位的1及后面所有的0构成的数

lowbit(x)=x&(~x+1)=x&(-x)

推导过程：

设x的最低位1在第k位，则第0~k-1位都为0

把x取反，则第k位为0，0~k-1位都为1，第k+1~最高位与之前相反

再+1后，由于进位，第0~k-1位再次变为0，第k位变为1

而+1操作对第k+1~最高位无影响，所以恰好与原数相比相反

这个时候把操作后的数与x进行 和运算，则从第k+1~最高位都为0，得到答案

即lowbit(x)=x&(~x+1)

又由补码表示下可得~x+1=-n，所以lowbit(x)=x&(-x)

找出整数二进制下所有是1的位

用lowbit运算+Hash

求lowbit(x)可以求出最低位为1的位置，再把x赋值为x-lowbit(x)，可以求出下一个为1的位，反复直到x=0

求出的lowbit(x)为一个最高位为1，其余位都为0的数，这个数一定是2的n次方，而这个n就是它的最高位数，即原x中的1在第n位中（注：k位二进制数，这里最低位表示为第0位，最高位表示为第k-1位）

要确定n，用Hash存储，可以实现O(1)的询问

预处理Hash数组，把2ⁿ存储为n，即Hash( 2ⁿ )=n

举个例子：要求十进制数x=10的二进制下所有是1的位

x=10=(1010)₂    ->   lowbit(x)=(10)₂=2    ->    Hash( lowbit(x) )=Hash( 2 )=1   ->   x=x-lowbit(x) 即x=8=(1000)₂  ->   lowbit(x)=lowbit(8)=(1000)₂=8   ->  Hash( lowbit(x) )=Hash( 8 )=3    ->  x=x-lowbit(x)=0  ->停止

用Hash求出的标红的两个数1、3即为所求

程序实现

for(int i=0;i<=20;i++)    Hash[1<<i]=i;
while(x)
{
    printf("%d ",Hash[x&(-x)]);
    x-=x&(-x);
}

---

大致就是这些，位运算一般都是题目中的一部分辅助工具，不太会单独出现。

参考  李煜东的《算法竞赛进阶指南》