bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设斜率優化

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

　　斜率優化的模式爲：dp[i]=min(a[j]*b[i]+c[j])+d[i]

　　符合本題的要求，下面爲dp方程的轉化過程：

//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]
//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]
//
//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i
//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];
//
//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]
//
//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]
//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]
//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]
//令a[j]=psum[j]=x,
// c[j]=f[j]+sum[j]=y
//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])
//最小化dp[i]->下凸包二分

　　這個推導過程十分複雜，正負號也容易出錯，一個解決辦法是變裸的dp與之對拍。

　　要注意的一點是DP除非有嚴格的證明，否則不能夠隨意捨去狀態，這道題我曾自作主張地捨去了p=0的所有狀態，導致程序出了問題。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
#ifdef WIN32
#define LL "%I64d"
#else
#define LL "%lld"
#endif
#define MAXN 1100000
#define MAXV MAXN*2
#define MAXE MAXV*2
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
typedef long long qword;
//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]
//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]
//
//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i
//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];
//
//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]
//
//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]
//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]
//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]
//令a[j]=psum[j]=x,
//    c[j]=f[j]+sum[j]=y
//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])
//最小化dp[i]->下凸包二分
inline int nextInt()
{
        char ch;
        int x=0;
        bool flag=false;
        do
                ch=getchar(),flag=(ch=='-')?true:flag;
        while(ch<'0'||ch>'9');
        do x=x*10+ch-'0';
        while (ch=getchar(),ch<='9' && ch>='0');
        return x*(flag?-1:1);
}

struct point
{
        qword x,y;
}seq[MAXN];
int tops=-1;
qword xmul(point p1,point p2,point p3)
{
        return (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x);
}
double get_v(point p1,point p2)
{
        return (double)(p2.y-p1.y)/(p2.x-p1.x);
}
qword dis[MAXN],cost[MAXN],p[MAXN];
qword psum[MAXN],sum[MAXN];
qword f[MAXN];
int n;
void work3()
{
        int i,j;
        int l,r,mid;
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        f[0]=0;
        seq[0].x=psum[0];
        seq[0].y=f[0]+sum[0];
        tops=0;
        point pt;
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
                l=-1,r=tops;
                while (l+1<r)
                {
                        mid=(l+r)>>1;
                        if (get_v(seq[mid],seq[mid+1])>dis[i])
                        {
                                r=mid;
                        }else
                        {
                                l=mid;
                        }
                }
                //x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])+cost[i]=y
                //dp[i]=y-x*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])-cost[i]
                //
                //dp[i]=f[j]+sum[j]-psum[j]*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]-cost[i])
                f[i]=seq[r].y-seq[r].x*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])+cost[i];
                pt.x=psum[i];
                pt.y=f[i]+sum[i];
                while (tops>0 && xmul(seq[tops-1],seq[tops],pt)<=0)tops--;
                seq[++tops]=pt;
        }
        //for (i=0;i<=n;i++)
        //3        cout<<f[i]<<endl;
        cout<<f[n]<<endl;
}
void work1()
{
        int i,j,k;
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        f[0]=0;
        qword t;
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
                for (j=0;j<i;j++)
                {
                        t=0;
                        for (k=j+1;k<i;k++)
                        {
                                t+=(dis[i]-dis[k])*p[k];
                        }
                        f[i]=min(f[i],f[j]+t+cost[i]);
                }
        }
//        for (i=0;i<=n;i++)
//                cout<<f[i]<<endl;
        cout<<f[n]<<endl;
}
void work2()
{
        int i,j,k;
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        f[0]=0;
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
                for (j=0;j<i;j++)
                {
                        f[i]=min(f[i],-psum[j]*dis[i]+f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]);
                }
        }
        //for (i=0;i<=n;i++)
        //        cout<<f[i]<<endl;
        cout<<f[n]<<endl;
}

int main()
{
        freopen("input.txt","r",stdin);
        //freopen("output.txt","w",stdout);
        int i,j,k;
        int x,y,z;
        scanf("%d",&n);
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
                dis[i]=nextInt();
                p[i]=nextInt();
                cost[i]=nextInt();
        //        if (!p[i])
        //        {
        //                i--;n--;
        //        }
        }
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
                psum[i]=psum[i-1]+p[i];
                sum[i]=sum[i-1]+p[i]*dis[i];
        }
        //work1();
        //work2();
        work3();
        return 0;
}

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1096: [ZJOI2007]仓库建设

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