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  • bzoj 3328: PYXFIB 数论

    3328: PYXFIB

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    Submit: 130  Solved: 41
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    Description

    Input

    第一行一个正整数,表示数据组数据 ,接下来T行
    每行三个正整数N,K,P

    Output

    T行,每行输出一个整数,表示结果

    Sample Input

    1
    1 2 3

    Sample Output

    1

    HINT

    Source

      思路与莫比乌斯反演相似,通过二项式巧妙地解决组合数的问题,总结一个技巧:对于同余系P,g为原根,w=g^((p-1)/k),那么sigma(w^(ij))==[i mod k==0],其他一些非人类的插值,代换这里就不多说了。太科幻了。。。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<vector>
    using namespace std;
    typedef long long qword;
    int mod;
    qword pow_mod(qword x,qword y,qword mod=::mod)
    {
            qword ret=1;
            while (y)
            {
                    if (y&1)
                            ret=ret*x%mod;
                    x=x*x%mod;
                    y>>=1;
            }
            return ret;
    }
    struct matrix
    {
            qword mat[2][2];
            matrix()
            {
                    memset(mat,0,sizeof(mat));
            }
            void Init0()
            {
                    memset(mat,0,sizeof(mat));
                    mat[0][0]=mat[1][1]=1;
            }
            void Init1()
            {
                    memset(mat,0,sizeof(mat));
                    mat[1][0]=1;
                    mat[0][0]=mat[0][1]=1;
            }
            void Print()
            {
                    for (int i=0;i<2;i++)
                    {
                            for (int j=0;j<2;j++)
                            {
                                    printf("%lld ",mat[i][j]);
                            }
                            printf("
    ");
                    }
                    printf("
    ");
            }
    };
    matrix operator *(matrix m1,matrix m2)
    {
            matrix ret;
            for (int k=0;k<2;k++)
            {
                    for (int i=0;i<2;i++)
                    {
                            for (int j=0;j<2;j++)
                            {
                                    ret.mat[i][j]=(ret.mat[i][j]+m1.mat[i][k]*m2.mat[k][j]%mod)%mod;
                            }
                    }
            }
            return ret;
    }
    matrix operator *(matrix m1,qword k)
    {
            for (int i=0;i<2;i++)
                    for (int j=0;j<2;j++)
                            m1.mat[i][j]=m1.mat[i][j]*k%mod;
            return m1;
    }
    matrix operator +(matrix m1,matrix m2)
    {
            for (int i=0;i<2;i++)
                    for (int j=0;j<2;j++)
                            m1.mat[i][j]=(m1.mat[i][j]+m2.mat[i][j])%mod;
            return m1;
    }
    
    matrix matrix_pow(matrix m1,qword y)
    {
            matrix res;
            res.Init0();
            while (y)
            {
                    if (y&1)
                            res=res*m1;
                    m1=m1*m1;
                    y>>=1;
            }
            return res;
    }
    void Analyse(int x,vector<int> &vec)
    {
            for (int i=1;i*i<=x;i++)
            {
                    if (i*i==x){
                            vec.push_back(i);
                            sort(vec.begin(),vec.end());
                            return ;
                    }
                    if (x%i==0)
                    {
                            vec.push_back(i);
                            vec.push_back(x/i);
                    }
            }
            sort(vec.begin(),vec.end());
    }
    
    
    int main()
    {
        //    freopen("input.txt","r",stdin);
            int nn;
            scanf("%d",&nn);
            while (nn--)
            {
                    qword n;
                    int t,p;
                    scanf("%lld%d%d",&n,&t,&p);
                    mod=p;
                    int g=-1;//原根
                    vector<int> fpm1;
                    Analyse(p-1,fpm1);
            //        for (int i=0;i<fpm1.size();i++)
            //                printf("%d ",fpm1[i]);
            //        printf("
    ");
                    for (int i=1;i<p;i++)
                    {
                            bool flag=true;
                            for (int j=0;j<(int)fpm1.size()-1;j++)
                            {
                                    if (pow_mod(i,fpm1[j])==1)
                                    {
                                            flag=false;
                                            break;
                                    }
                            }
                            if (flag)
                            {
                                    g=i;
                                    break;
                            }
                    }
                    /*
                    qword x0=1;
                    for (int i=1;i<p-2;i++)
                    {
                            x0=x0*g;
                            if (x0==1)throw 1;
                    }*/
                    qword w=pow_mod(g,(p-1)/t);
                    qword invw=pow_mod(w,mod-2);
                    qword xnow=1;
                    qword ixnow=1;
                    matrix res;
                    for (int i=0;i<t;i++)
                    {
                            matrix matx;
                            matx.Init1();
                            matx.mat[0][0]=(matx.mat[0][0]+xnow)%mod;
                            matx.mat[1][1]=(matx.mat[1][1]+xnow)%mod;
                            matx=matrix_pow(matx,n);
                            matx=matx*pow_mod(ixnow,n);
                            res=res+matx;
                            xnow=xnow*invw%mod;
                            ixnow=ixnow*w%mod;
                    }
                    res=res*pow_mod(t,mod-2);
                    printf("%lld
    ",res.mat[0][0]);
            }
    }

      

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