【dp】合唱队形

例题二 

合唱队形

(chorus.pas/c/cpp)

来源：NOIP2004(提高组) 第一题

     N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。

    合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。

    你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

【输入文件】

    输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

【输出文件】

    输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

【样例输入】

8

186 186 150 200 160 130 197 220

【样例输出】

4

【数据规模】

对于50％的数据，保证有n<=20；

对于全部的数据，保证有n<=100。

【问题分析】

  出列人数最少，也就是说留的人最多，也就是序列最长。

这样分析就是典型的最长下降子序列问题。只要枚举每一个人站中间时可以的到的最优解。显然它就等于，包括他在内向左求最长上升子序列，向右求最长下降子序列。

我们看一下复杂度：

计算最长下降子序列的复杂度是O（N2），一共求N次，总复杂度是O（N3）。这样的复杂度对于这个题的数据范围来说是可以AC的。但有没有更好的方法呢？

其实最长子序列只要一次就可以了。因为最长下降（上升）子序列不受中间人的影响。

只要用OPT1求一次最长上升子序列，OPT2求一次最长下降子序列。这样答案就是N-max(opt1[i]+opt2[i]-1).

 复杂度由O（N3）降到了O（N2）。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<iterator>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define clr(c) memset(c, 0, sizeof(c));
#define pi acos(-1.0)
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8;
typedef struct point{
    int x, y;
    bool operator < (const point& p) const{
        if (x == p.x) return y < p.y;
        else return x < p.x;
    }
    bool operator >(const point& p) const{
        return p < *this;
    }
}p;

int a[105], n;
int dp1[105];
int dp2[105];

int main(){
    while(~scanf("%d", &n)){
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);

        for(int i = 0; i < n; i++) dp1[i] = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(a[i] > a[j] && dp1[j]+1 > dp1[i]) dp1[i] = dp1[j]+1;
            }
        }

        for(int i = 0; i < n; i++) dp2[i] = 0;
        for(int i = n-1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < n; j++){
                if(a[i] > a[j] && dp2[j]+1 > dp2[i]) dp2[i] = dp2[j]+1;
            }
        }

        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(ans < dp1[i]+dp2[i]) ans = dp1[i]+dp2[i];
        }

        //for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", dp1[i]); printf("
");
        //for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", dp2[i]); printf("
");
        printf("%d
", ans);
    }

    return 0;
}