约瑟夫问题

问题陈述：

       据说著名的犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个山洞里，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人围成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第三人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

       然而Josephus和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个和第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

问题解法：

       约瑟夫问题可用代数分析来求解，此处将这个问题扩大，假设现在您有m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您与您的朋友？其实只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

       使用程式来求解的话，只要将阵列当做环装来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直到计数达41为止，然后将阵列由索引1开始出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人而报数3的约瑟夫排列如下所示：

14 36 1  38 15 2  24 30 3  16 34 4  25 17 5  40 31 6  18 26 7  37 19 8  35 27 9  20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23   由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置。

代码详解：

/*
N:表示总人数
M:报M死亡
m:表示自己和朋友总人数
0:标志活着
a[N]死亡顺序 下标从0开始
p[m]朋友及自己位置编号
pos = (pos+1)%N 环状处理
输出最后m个死亡位置编号
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 41
#define M 3
#define m 2


int main(void) {
    int num = 0, pos = -1, i = 1, count = 0, k = N;
    int a[N] = {0}, p[m];

    while(i<N+1) {
        pos = (pos+1)%N;
        if(a[pos] == 0) {
            num ++;
        }
        if(num == M) {
            num = 0;
            a[pos] = i++;
        }
    }

    i = 0;
    pos = -1;
    while(count<m) {
        pos = (pos+1)%N;
        if(a[pos] == k) {
            p[i++] = pos+1;
            count++;
            k--;
        }
    }

    for(i=0; i<m; i++) {
        printf("%-3d",p[i]);
    }
    return 0;
}

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