最大子列和问题

问题陈述：

　　给定N个整数的序列{A₁, A₂, ... , A_N}，求函数ƒ(i, j) = max{0, A_i + A_i+1 + ... + A_j}(1<=i<j<=N)的最大值。

问题分析：

　　求给定数列的最大子列和。

算法设计：

算法1：计算每个子列的和

时间复杂度: T(N) = O(N²)

int MaxSubSeqSum(int arr[], int n) {
    int i, j, currentSum, maxSum = 0;
    for(i=0; i<N-1; i++) { /* i是子列左端的位置 */
        currentSum = 0; /* currentSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
        for(j=i; j<N; j++) { /* j是子列右端位置 */
            currentSum += arr[j];
            if(currentSum > maxSum){
                maxSum = currentSum; //更新maxSum
            }
        }
    }
    return maxSum;
}

算法2：递归 分而治之

将数列分为两部分，分别求出左右两侧的最大子数列，再求出跨越分界线的最大子数列，比较三者最大值即为所求的最大子数列。

时间复杂度: T(N) = O(NlogN)

int MaxSubSeqSum(int arr[], int left, int right) {
    if(left == right){
        if(arr[left] > 0){
            return arr[left];
        }else {
            return 0;
        }
    }

    int center = (left + right) / 2;
    int leftMaxSum = MaxSubSeqSum(arr, left, center); /* 分界线左侧最大子数列 */
    int rigthMaxSum = MaxSubSeqSum(arr, center+1, right); /* 分界线右侧最大子数列 */

    /* 以分界线往左求最大子数列 */
    int leftBorderSum = 0, maxLeftBorderSum = 0;
    for(int i=center; i>=left; i--) {
        leftBorderSum += arr[i];
        if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum){
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
        }
    }

    /* 以分界线往右求最大子数列 */
    int rightBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0;
    for(int j=center+1; j<=right; j++) {
        rightBorderSum += arr[j];
        if(rightBorderSum > maxRightBorderSum) {
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
        }
    }

    /* 跨越分界线最大子数列和 */
    int maxBorderSum = maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum;

    return maxSum(leftMaxSum, rigthMaxSum, maxBorderSum);
}

/*
**  返回a, b, c三者最大值
*/
int maxSum(int a, int b, int c){
    if(a > b) {
        a = b;
    }
    if(a > c) {
        return a;
    }else {
        return c;
    }
}

时间复杂度计算：

T(N) = 2 * T(N/2) + cN

　　 = 2² * T(N/2²) + c2N

　　 = 2^k * T(N/2^k) + ckN 其中 N/2^k = 1

        = N * T(1) + cNlog₂N

　　 = O(NlogN)

算法3：在线处理(每输入一个数据就进行即时处理)

时间复杂度: T(N) = O(N)

int MaxSubSeqSum(int arr[], int n) {
    int currentSum, maxSum;
    currentSum = maxSum = 0;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        currentSum += arr[i];  /* 向右累加 */
        if(currentSum > maxSum) {  /* 发现更大值 更新最大值 */
            maxSum = currentSum;
        }else if(currentSum < 0){  /* 如果当前子列为负 舍弃 置零 */
            currentSum = 0;
        }
    }
    return maxSum;
}

参考资料：浙江大学数据结构

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