归并排序
归并排序
1 归并排序
1.1 原理
归并排序是Divide and Conquer思想，也就是分而治之。先看划分的子问题。
假设对已经存在并且有序的两个序列A、B进行合并，如何进行？很显然可以新建一个序列C，长度是A与B长度之和，从左至右依次扫描A、B，将较小的项放入C直到A、B中所有元素都扫描结束即可。
1.2 实现
对于给定的数组A，A[p..r]与A[r+1..q]两部分均已有序，下面实现对此两部分合并，使A[p..q]最终有序。
void merge(int A[],int p,int r,int q)
{
int i,j,k;
int n1=r-p+1;
int n2=q-r;
int* L = (int*)malloc((n1+1)*sizeof(int));
int* R = (int*)malloc((n2+1)*sizeof(int));
i=j=0;
while(i<n1)
{
L[i]=A[p+i];
i++;
}
L[i] = MAXNUM;
while(j<n2)
{
R[j] = A[r+j+1];
j++;
}
R[j] = MAXNUM;
i=0;
j=0;
for(k=p;k<=q;k++)
{
if(L[i]<=R[j])
{
A[k]=L[i];
i++;
}
else
{
A[k]=R[j];
j++;
}
}
free(L);
free(R);
}
代码中申请数组时多申请一个int的尺寸，用来存放哨兵，这个值为正无穷大，这样即不必检查两个数组的边界，并且会正确把所有元素插入A中，因为任何数都小于正无穷大。 接下去的问题是怎样把一个无序数组来使用上面的方面排序。一个数组分成A[p..r]与A[r+1..q]两部分，对于这两部分再进行划分，以此重复，直到划分的两个子序列已经有序即可。代码实现如下：
void mergeSort(int A[],int start,int end)
{
int mid=(start+end)/2;
if(end > start)
{
mergeSort(A,start,mid);
mergeSort(A,mid+1,end);
merge(A,start,mid,end);
}
}
这是一个bottom-up的问题，它的表现是一棵二叉树，在最底层的序列只包含一个数，很明显单独的数不必进行排序。从最底层依次向上合并到顶点，整个过程也随之结束。
1.3 性能评估
上面提到，它的表现是一棵二叉树，而二叉树的遍历则需要花费O(nlgn)的时间复杂度。具体证明可以参见算法导论。
归并的思想是分治，先把复杂问题分解成可以解决的小问题，再把小问题解决，最后把解决的问题做合并，这样就解决整个问题。 而插入排序的思想是增量(incremental)策略，一点一点增加已排序的数组，直到排序全部完成。两个思想正好相反。