费马定理：Xn+Yn=Zn（n>=3）时，且X,Y,Z同时为正整数，等式不成立。
12= 1 13= 1 14= 1
22= 4 23= 8 24= 16
32= 9 33= 27 34= 81
42= 16 43= 64 44= 256
52= 25 53= 125 54= 625
62= 36 63= 216 64= 1296
72= 49 73= 343 74= 2401
82= 64 83= 512 84= 4096
92= 81 93= 729 94= 6561
102=100 103=1000 104=10000
112=121 113=1331 114=14641
122=144 123=1728 124=20736
132=169 133=2197 134=28561
142=196 143=2744 144=38416
152=225 153=3375 154=50625
13= 1 14= 1 15=1
23= 8 24= 16 25=32
33= 27 34= 81 35=243
43= 64 44= 256 45=1024
53= 125 54= 625 55=3125
63= 216 64= 1296 65=7776
73= 343 74= 2401 75=16807
83= 512 84= 4096 85=32768
93= 729 94= 6561 95=59049
103=1000 104=10000 105=100000
113=1331 114=14641 115=161051
123=1728 124=20736 125=248832
133=2197 134=28561 135=371293
143=2744 144=38416 145=537824
153=3375 154=50625 155=759375
165=1048576
175=1419857
185=1889568
证明：
我们先证明n=2的时候成立，Z首先肯定是大于等于3的数字。
当你取Z=3时，会发现1 2+2 2=3 2不成立，但是1 2+2 2=5，且5小于3 2，也就是9，且差值为4，当Z等于4时，还得明确一个想法，如果需要Z的平方是其他两个数字平方和，那么，这两个数字必定有一个大于Z 2/2，另一个小于Z 2/2。现在说当Z等于4时，2 2+3 2=13，还是小于Z的平方，但是差值变成了3，也就是，这两个式子正在靠近。当Z等于5，3 2+4 2=25，OK，正好等于5的平方，如果我们没猜错的话，那么X2与Y2将会大于Z的平方。事实也是如此，但是，你会发现这个值越来越大，看一下这个13 2的一半84.5，离它最近的是10 2与9 2，但是他们的和是181，要大于169，但是8 2与11 2为185，大于181，这意味着，最接近Z 2/2的两个数字的平方和才是最接近Z 2的，在13 2与14 2时，你会发现他们两个的Z 2/2是相同的，这意味着，当Z不断增大的时候，将有更多的Z同时在两个相邻数字平方的和之间，那么，就可以将小于Z 2/2的那个数字向小的位置推进，以便更适合Z 2，这说明它是可以组合出来的，因为它具备了可以组合的前提，有很多的组合，那么回归正题，证明X3+Y3=Z3。
首先Z需要大于等于5，因为只有5的时候，Z 3/2才有一大一小两个数字和，但是，随着Z的增加Z 3/2左右两边数字平方相加与Z 2差值会增大，在12 3的时候会出现一次下降，正是因为当Z不断增大的时候，将有更多的Z同时在两个相邻数字平方的和之间，造成的距离差变小，而12 3也是最小的一次差值为1，接下来可以分成两种情况，一种是正常增加，也就是Z增加1，X与Y同时增加1 ，另一种是Z增加1但是X与Y不会增加，但是他们的和会突然接近Z的次方，但是，不会小于之前那一次突然下降距离Z3，而Z4也是如此证明，幂的增加，只会让X与Y的n次方与Z的n次方差值变化得越来越快而已，而且，永远不可能等于Z的n次方。
证毕。