exgcd

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欧几里得

定义: (gcd(a,b))为整数 (a)与(b) 的最大公约数

引理：(gcd(a,b)=gcd(b,a mod b))

证明：

　　　　设$ r=a mod b , c=gcd(a,b) $

　　　　则$ a=xc , b=yc $, 其中x , y互质

　　　　(r=a mod b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c​)

　　　　而(b=yc)

　　　　可知：$y $与 $x-py $互质

证明：

​ 　　假设 (y) 与$ x-py $不互质

​ 　　设 $y=nk , x-py=mk $, 且 $k>1 $（因为互质）

​ 　　 将 y 带入可得

​ 　　(x-pnk=mk)

​ 　　(x=(pn+m)k)

​ 　　 则$ a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc$

​ 　　那么此时 (a) 与$ b $的最大公约数为 $kc $不为 (k)

​ 　　与原命题矛盾，则 (y) 与$ x-py $互质

　　　　因为 (y) 与 (x-py) 互质，所以 (r) 与 (b) 的最大公约数为 (c)

　　　　即 (gcd(b,r)=c=gcd(a,b))

　　　　得证

　　当(a mod b=0)时，(gcd(a,b)=b)

　　这样我们可以写成递归形式

实现：

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得

引理：存在 (x , y) 使得(gcd(a,b)=ax+by)

证明：

当 (b=0) 时，(gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0)
当 (b eq 0) 时，设

(ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)=b{x}'+(a mod b){y}')

(ecause a mod b = a-a/b*b)

( herefore ax+by=b{x}'+(a-a/b*b){y}')

( herefore ax+by=b{x}'+a{y}'-b*a/b*{y}')

( herefore ax+by=a{y}'+b{x}'-b*a/b*{y}')

( herefore ax+by=a{y}'+b({x}'-a/b*{y}')​)

(解得 x={y}' , y={x}'-a/b*{y}')

当(b=0) 时存在 x , y 为最后一组解

实现：

递归进入下一层，当$ b=0 (时就返回)x=1,y=0$

再根据(x={y}' , y={x}'-a/b*{y}')得出当前所在层的解

回到第一层的时候得到答案。

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}