• 时间复杂度和空间复杂度


    对于同一个问题,可以使用很多不同的算法来解决,但是对于这个算法执行的过程,不同的算法需要的时间和内存不尽相同。

    在我们的实际开发中该如何写出更具性能的程序呢?具体依据什么来判断程序的性能呢?

    主要还是从算法运行过程所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。

    时间维度:是指执行算法所消耗的时间,我们通常用「时间复杂度」来描述。

    空间维度:是指执行算法需要占用多少内存空间,我们通常用「空间复杂度」来描述。

    一、时间复杂度 (Time complexity)

    我们想要知道一个算法的「时间复杂度」,很多人首先想到的的方法就是把这个算法程序运行一遍,那么它所消耗的时间就自然而然知道了。

    这种方式可以吗?当然可以,不过它也有很多弊端。
    这种方式非常容易受运行环境的影响,在性能高的机器上跑出来的结果与在性能低的机器上跑的结果相差会很大。而且对测试时使用的数据规模也有很大关系。再者,并我们在写算法的时候,还没有办法完整的去运行呢。

    因此,另一种更为通用的方法就出来了:「 大O符号表示法 」,即 T(n) = O(f(n))

    我们先来看个例子:

    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
       j = i;
       j++;
    }


    通过「 大O符号表示法 」,这段代码的时间复杂度为:O(n) ,为什么呢?

    在 大O符号表示法中,时间复杂度的公式是: T(n) = O( f(n) ),其中f(n) 表示每行代码执行次数之和,而 O 表示正比例关系,这个公式的全称是:算法的渐进时间复杂度。

    我们继续看上面的例子,假设每行代码的执行时间都是一样的,我们用 1颗粒时间 来表示,那么这个例子的第一行耗时是1个颗粒时间,第三行的执行时间是 n个颗粒时间,第四行的执行时间也是 n个颗粒时间(第二行和第五行是符号,暂时忽略),那么总时间就是 1颗粒时间 + n颗粒时间 + n颗粒时间 ,即 (1+2n)个颗粒时间,即: T(n) =  (1+2n)*颗粒时间,从这个结果可以看出,这个算法的耗时是随着n的变化而变化,因此,我们可以简化的将这个算法的时间复杂度表示为:T(n) =  O(n)

    为什么可以这么去简化呢,因为大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的,它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。

    所以上面的例子中,如果n无限大的时候,T(n) =  time(1+2n)中的常量1就没有意义了,倍数2也意义不大。因此直接简化为T(n) =  O(n) 就可以了。

    常见的时间复杂度量级有:

    常数阶O(1)

    对数阶O(logN)

    线性阶O(n)

    线性对数阶O(nlogN)

    平方阶O(n²)

    立方阶O(n³)

    K次方阶O(n^k)

    指数阶(2^n)

    上面从上至下依次的时间复杂度越来越大,执行的效率越来越低。

    下面选取一些较为常用的来讲解一下(没有严格按照顺序):

    常数阶O(1)

    无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1),如:

    int i = 1;
    int j = 2;
    ++i;
    j++;
    int m = i + j;


    上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

    线性阶O(n)

    这个在最开始的代码示例中就讲解过了,如:

    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
       j = i;
       j++;
    }


    这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

    对数阶O(logN)

    还是先来看代码:

    int i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }


    从上面代码可以看到,在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。我们试着求解一下,假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2^n
    也就是说当循环 log2^n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(logn)

    线性对数阶O(nlogN)

    线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是了O(nlogN)。

    就拿上面的代码加一点修改来举例:

    for(m=1; m<n; m++)
    {
        i = 1;
        while(i<n)
        {
            i = i * 2;
        }
    }


    平方阶O(n²)

    平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²) 了。
    举例:

    for(x=1; i<=n; x++)
    {
       for(i=1; i<=n; i++)
        {
           j = i;
           j++;
        }
    }

    这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(n*n),即  O(n²) 
    如果将其中一层循环的n改成m,即:

    for(x=1; i<=m; x++)
    {
       for(i=1; i<=n; i++)
        {
           j = i;
           j++;
        }
    }


    那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

    立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

    参考上面的O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层n循环,其它的类似。

    除此之外,其实还有 平均时间复杂度、均摊时间复杂度、最坏时间复杂度、最好时间复杂度 的分析方法,有点复杂,这里就不展开了。

    二、空间复杂度(Space Complexity)

    用 S(n) 来定义。空间复杂度比较常用的有:O(1)、O(n)、O(n²);

    空间复杂度能说明一个程序所需内存的大小,利用程序的空间复杂度,可以对程序的运行所需要的内存多少有个预先估计。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分。 

    (1)固定部分:这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关,主要包括指令空间(即代码空间)、数据空间(常量、简单变量)等所占的空间,这部分属于静态空间。 

    (2)可变空间:这部分空间的主要包括动态分配的空间,以及递归栈所需的空间等,这部分的空间大小与算法有关。一个算法所需的存储空间用f(n)表示。S(n)=O(f(n)),其中n为问题的规模,S(n)表示空间复杂度。

    1、空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

    2、一个算法在计算机上占用的内存包括:程序代码所占用的空间、输入输出数据所占用的空间、辅助变量所占用的空间这三个方面。程序代码所占用的空间取决于算法本身的长短,输入输出数据所占用的空间取决于要解决的问题,是通过参数表调用函数传递而来,只有辅助变量是算法运行过程中临时占用的存储空间,与空间复杂度相关。

    3、通常来说,只要算法不涉及到动态分配的空间以及递归、栈所需的空间,空间复杂度通常为0(1)。

    4、算法的空间复杂度并不是计算实际占用的空间,而是计算整个算法的辅助空间单元的个数,与问题的规模没有关系。

     

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