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  • Manacher 算法

    原文:https://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/42061017 

    首先,Manacher算法提供了一种巧妙地办法,将长度为奇数的回文串和长度为偶数的回文串一起考虑,具体做法是,在原字符串的每个相邻两个字符中间插入一个分隔符,同时在首尾也要添加一个分隔符,分隔符的要求是不在原串中出现,一般情况下可以用#号。

    Manacher算法用一个辅助数组Len[i]表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最右字符到T[i]的长度,比如以T[i]为中心的最长回文字串是T[l,r],那么Len[i]=r-i+1。

    Len数组有一个性质,那就是Len[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度,至于证明,首先在转换得到的字符串T中,所有的回文字串的长度都为奇数,那么对于以T[i]为中心的最长回文字串,其长度就为2*Len[i]-1,经过观察可知,T中所有的回文子串,其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1,也就是有Len[i]个分隔符,剩下Len[i]-1个字符来自原字符串,所以该回文串在原字符串中的长度就为Len[i]-1。

    Len数组的计算

    首先从左往右依次计算Len[i],当计算Len[i]时,Len[j](0<=j<i)已经计算完毕。设P为之前计算中最长回文子串的右端点的最大值,并且设取得这个最大值的位置为po,分两种情况:

    第一种情况:i<=P

    那么找到i相对于po的对称位置,设为j,那么如果Len[j]<P-i,如下图:

    那么说明以j为中心的回文串一定在以po为中心的回文串的内部,且j和i关于位置po对称,由回文串的定义可知,一个回文串反过来还是一个回文串,所以以i为中心的回文串的长度至少和以j为中心的回文串一样,即Len[i]>=Len[j]。因为Len[j]<P-i,所以说i+Len[j]<P。由对称性可知Len[i]=Len[j]。

    如果Len[j]>=P-i,由对称性,说明以i为中心的回文串可能会延伸到P之外,而大于P的部分我们还没有进行匹配,所以要从P+1位置开始一个一个进行匹配,直到发生失配,从而更新P和对应的po以及Len[i]。

    第二种情况: i>P

    如果i比P还要大,说明对于中点为i的回文串还一点都没有匹配,这个时候,就只能老老实实地一个一个匹配了,匹配完成后要更新P的位置和对应的po以及Len[i]。

     

     ps:代码与上文无关,为红书上的板子 注释了一下。

    /**
    没有对原串进行处理 暴力匹配时要注意边界
    以及对位置的处理
    求出len数组为回文半径,计算长度是分奇偶处理
    ***/ #include
    <bits/stdc++.h> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define sc(x) scanf("%lld",&(x)) using namespace std; const int maxn=1e8+10; char str[maxn]; int len[maxn],n; void manacher() { len[0]=1; for(int i=1,j=0;i<(n<<1)-1;i++) { int p=i>>1,q=i-p,r=((j+1)>>1)+len[j]-1;//r到达的最远 len[i]=r<q?0:min(r-q+1,len[(j<<1)-i]); //q i在串中的实际位置 //如果 最远位置和当前位置相同 暴力匹配 //否则 以对称性 应为len[(j<<1)-i] //但最大应为 r-q+1 剩下暴力匹配 while(p>len[i]-1&&q+len[i]<n&&str[p-len[i]]==str[q+len[i]]) ++len[i]; //放置越界 前 p>len[i]-1 后 q+len[i] //匹配 if(q+len[i]-1>r) j=i; //更新最大串的中心 } } int main() { //freopen("in","r",stdin); cin>>str; n=strlen(str); manacher(); int ans=0; for(int i=0;i<2*n;i++) { ans=max(ans,i%2?len[i]*2:len[i]*2-1); } // cout<<endl; cout<<ans<<endl; return 0; }
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