最大密度子图

模型描述

一张无向图(G = (V, E))，没有点权也没有边权。

选取一个子图，使得(frac{|E'|}{|V'|})最大。

注意：这里的子图指的是，选取一些点，与之相关的边不一定全选。但是如果选取了某条边，那么其两个顶点必选。

但是因为全选与这些点相关的边，肯定是最优的，于是下文就默认是全选的。

解决方法

利用01分数规划的方法，原问题可以转化为最大化(|E'| - lambda |V'|)，即最小化(lambda |V'| - |E'|)

对于这个式子的化简，需要应用到一个技巧，就是把每条边拆成两份，两个端点分别占有一份。

[egin{aligned} lambda |V'| - |E'| &= sum_{v in V'} g - (frac{sum_{v in V'} deg(v)}{2} - frac{c[V', ar{V'}]}{2}) \ &= frac{1}{2}(sum_{v in V'}(2g - deg(v)) + c[V', ar{V'}]) end{aligned} ]

这里(ar{V'})是(V')的补图，(deg(v))是点(v)的度数。

下面就可以建图了，原图的每一条边对应成流网络中一条容量是(1)的边。每个点向虚拟汇点(t)连容量是(2g - deg(v) + U)的边，这里的(U)是一个自己设置的常数，目的是使得容量恒大于(0)。

设置一个虚拟源点(s)，向每个点连容量是(U)的边。如图所示：

下面证明结果的最优性：

令(V' = S - {s}, ar{V'} = V - V')

[egin{aligned} c[S, T] &= sum_{u in ar{V'}} U + sum_{u in V'}(2g - deg(u) + U) + sum_{u in V'}sum_{v in ar{V'}}c_{u,v} \ &= sum_{u in ar{V'}} U + sum_{u in V'}(2g - deg(u) + U + sum_{v in ar{V'}}c_{u,v}) \ &= (sum_{u in ar{V'}} U + sum_{u in V'} U) + 2gsum_{u in V'} - sum_{u in V'}sum_{v in V'}c_{u,v} \ &= nU + 2g|V'| - 2|E'| end{aligned} ]

因此，(|E'| - lambda |V'| = frac{nU - c[s, t]}{2})

模型拓展

若有边权

目标式子改为(frac{sum_{e in E'} w_e}{|V'|})。

只需要重新定义一下(deg(v))即可，定义(deg(v))为以(v)为顶点的边的边权和。

若有点权

目标式子改为(frac{sum_{e in E'} w_e + sum_{v in V'} p_v}{|V'|})

重新推导目标式子为：(frac{1}{2}(sum_{v in V'}(2g - deg(v) - 2p_v) + c[V', ar{V'}]))

(v)到(t)的边权改为(2g - deg(v) - 2p_v + U)。其他不变。