题意
假设有(n)根柱子,现要按下述规则在这(n)根柱子中依次放入编号为(1,2,3,dots)的球。
-
每次只能在某根柱子的最上面放球。
-
在同一根柱子中,任何 (2) 个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法,计算出在 (n) 根柱子上最多能放多少个球。
思路
典型的最小路径点覆盖问题!
本题可以采用枚举的方法,一个数一个数的枚举,把点加到图中,跑最大流,直到需要的柱子数大于给定数量为止。
注意,最后还需要跑一遍最大流,因为枚举的最后一个点是刚好不行的点,因此需要将那个点去掉。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 3210, M = 500010, inf = 1e8;
int n, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];
int pre[N], sec[N];
bool is_f[N];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}
bool bfs()
{
memset(d, -1, sizeof(d));
queue<int> que;
que.push(S);
d[S] = 0, cur[S] = h[S];
while(que.size()) {
int t = que.front();
que.pop();
for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
int ver = e[i];
if(d[ver] == -1 && f[i]) {
d[ver] = d[t] + 1;
cur[ver] = h[ver];
if(ver == T) return true;
que.push(ver);
}
}
}
return false;
}
int find(int u, int limit)
{
if(u == T) return limit;
int flow = 0;
for(int i = cur[u]; ~i && limit > flow; i = ne[i]) {
cur[u] = i;
int ver = e[i];
if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
if(!t) d[ver] = -1;
f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
}
}
return flow;
}
int dinic()
{
int res = 0, flow;
while(bfs()) {
while(flow = find(S, inf)) {
res += flow;
}
}
return res;
}
void get()
{
for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
int b = e[i], a = e[i ^ 1];
if(a != S && b != T) {
if(!f[i]) {
pre[(b - 1) / 2] = a / 2;
sec[a / 2] = (b - 1) / 2;
}
}
}
}
void output(int u)
{
printf("%d", u);
while(sec[u]) {
printf(" %d", sec[u]);
u = sec[u];
}
puts("");
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
memset(h, -1, sizeof(h));
S = 0, T = 1;
for(int i = 1; i <= 3200; i ++) {
for(int j = 1; j <= 1600; j ++) {
if(j * j == i) {
is_f[i] = true;
break;
}
}
}
int ans = 1;
for(int i = 1; i <= 1600; i ++) {
for(int j = 0; j < idx; j += 2) {
f[j] += f[j ^ 1];
f[j ^ 1] = 0;
}
add(S, 2 * i, 1);
add(2 * i + 1, T, 1);
for(int j = 1; j <= i - 1; j ++) {
if(is_f[i + j]) {
add(2 * j, 2 * i + 1, 1);
}
}
int res = dinic();
if(i - res > n) {
printf("%d
", i - 1);
ans = i - 1;
break;
}
}
memset(h, -1, sizeof(h));
idx = 0;
for(int i = 1; i <= ans; i ++) {
add(S, 2 * i, 1);
add(2 * i + 1, T, 1);
for(int j = 1; j <= i - 1; j ++) {
if(is_f[i + j]) {
add(2 * j, 2 * i + 1, 1);
}
}
}
dinic();
get();
for(int i = 1; i <= ans; i ++) {
if(!pre[i]) {
output(i);
}
}
return 0;
}