航空路线问题（费用流，最大权不相交路径，网络流24题）

题意

给定一张航空图，图中顶点代表城市，边代表两个城市间的直通航线。现要求找出一条满足下述限制条件的且途经城市最多的旅行路线。

从最西端城市出发，单向从西向东途经若干城市到达最东端城市，然后再单向从东向西飞回起点(可途经若干城市)。

• 除起点城市外，任何城市只能访问 (1) 次。
• 对于给定的航空图，试设计一个算法找出一条满足要求的最佳航空旅行路线。

思路

这道题的思路其实是比较简单的，但是坑点很多。

受数字梯形问题的启发，发现这道题是最大权不相交路径，就是可以看成是从起点出发，找两条到终点的不相交路径，使得经过点数最多。

拆点，拆成入点和出点，入点向出点连容量是(1)，费用是(1)的边。起点和终点是(2)，因为需要走两次。

虚拟源点向起点连容量是(2)，费用是(0)的边；终点向虚拟汇点连容量是(2)，费用是(0)的边。

对于图中的每一条边，都看作是容量是(1)，费用是(0)的边。

但是这里有个坑点就是，对于起点直接连到终点的边，容量是(2)，需要特判一下。

对于路径输出，先从起点开始，一直搜到终点；然后再从终点，一直搜到起点。中间的点之前不能被搜过。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 70, M = (250 + N) * 2, inf = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], w[M], idx;
int pre[N], d[N], incf[N];
bool st[N];
unordered_map<string, int> mp;
unordered_map<int, string> mp2;
int st1[N];

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool spfa()
{
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    memset(incf, 0, sizeof(incf));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, incf[S] = inf;
    st[S] = true;
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] > d[t] + w[i] && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(incf[t], f[i]);
                if(!st[ver]) {
                    que.push(ver);
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

int EK()
{
    int cost = 0;
    while(spfa()) {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for(int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]) {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = 2 * n + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        string city;
        cin >> city;
        mp[city] = i;
        mp2[i] = city;
        if(i > 1 && i < n)add(i, n + i, 1, -1);
        //add(n + i, T, 2, 0);
    }
    add(S, 1, 2, 0);
    add(2 * n, T, 2, 0);
    add(1, n + 1, 2, -1);
    add(n, 2 * n, 2, -1);
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        string ss, tt;
        cin >> ss >> tt;
        int a = mp[ss], b = mp[tt];
        if(a > b) swap(a, b);
        if(a == 1 && b == n) add(n + a, b, 2, 0);
        else add(n + a, b, 1, 0);
    }
    int res = -EK() - 2;
    if(res <= 0) puts("No Solution!");
    else {
        printf("%d
", res);
        int now = S;
        st1[now] = 1;
        while(now != T) {
            for(int i = h[now]; ~i; i = ne[i]) {
                int ver = e[i];
                if(i % 2) continue;
                if(!st1[ver] && f[i ^ 1]) {
                    now = ver;
                    st1[ver] = 1;
                    break;
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            if(st1[i] == 1) {
                cout << mp2[i] << "
";
            }
        }
        now = T;
        st1[2 * n] = 0;
        st1[n] = 0;
        st1[1] = 0;
        st1[n + 1] = 0;
        st1[S] = 0;
        while(now != S) {
            for(int i = h[now]; ~i; i = ne[i]) {
                int ver = e[i];
                if(i % 2 == 0) continue;
                if(!st1[ver] && f[i]) {
                    now = ver;
                    st1[ver] = 2;
                    break;
                }
            }
        }
        for(int i = n - 1; i >= 1; i --) {
            if(st1[i] == 2) {
                cout << mp2[i] << "
";
            }
        }
    }
    return 0;
}