例 1：在有理数中，解线性方程组
[egin{cases}
x_1 - x_2 + x_3 = 1 \
x_1 - x_2 - x_3 = 3 \
2x_1 - 2x_2 - x_3 = 3
end{cases}
]
增广矩阵经过若干次初等行变换，可得阶梯矩阵：
[egin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 \
0 & 0 & 1 & -1 \
0 & 0 & 0 & -2
end{pmatrix}
]
该例的原方程无解
例 2：
[egin{cases}
x_1 - x_2 + x_3 = 1 \
x_1 - x_2 - x_3 = 3 \
2x_1 - 2x_2 - x_3 = 5
end{cases}
]
增广矩阵经过若干次初等行变换，可得简化行阶梯矩阵：
[egin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 2 \
0 & 0 & 1 & -1 \
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
Leftrightarrow
egin{cases}
x_1 - x_2 &= 2 \
x_3 &= -1 \
0 &= 0
end{cases}
]
原方程有无穷多个解，一般解可以表示为：
[egin{cases}
x_1&= x_2 + 2 \
x_3 &= -1 \
end{cases}
]
(x_2)是自由未知量，(x_1,x_3)是主变量（以主元为系数）
定理 1：
在有理数集（或实数集，或复数集），(n)元线性方程组有且只有无解、唯一解、无穷多个解，这三种情况。
把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形。
相应的阶梯形方程组出现“(0 = d)”(d
eq 0)，则原方程组无解，否则原方程组有解。
当有解时，若阶梯形矩阵非(0)行的数目(r)等于未知数数目(n)，即(r = n)，则原方程组有唯一解，若(r < n)，则原方程组有无穷多个解。
证明：设(n)元阶梯形方程组的增广矩阵(J)有(r)个非零行，(J)有(n + 1)列。
- 情况 1：阶梯形方程组中出现“(0 = d)”（其中(d)是非零数）这种方程，则阶梯形方程组无解。
- 情况 2：不出现“(0 = d)”；此时(J)的第(r)个主元(b_{rt})不能位于第(n + 1)列，因此(t leq n)。又(J)是阶梯形矩阵，则(r leq t leq n)。再将(J)经过初等行变换为简化行阶梯矩阵(j_1)
- 情况 2.1：(r = n)时，此时(J_1)有(n)个主元，且第(i)个主元位于第(i)列，即：[J_1 = egin{pmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 & c_1 \ 0 & 1 & cdots & 0 & c_2 \ vdots & vdots & & vdots & vdots \ 0 & 0 & cdots & 1 & c_n end{pmatrix} ]则((c_1, c_2, cdots, c_n))是原方程组的唯一解
- 情况 2.2：(r < n)时，此时(J_1)有(r)个主元，从而(J_1)表示的阶梯形方程组有(r)个主变量：(x_1,x_{j_2}, cdots, x_{j_r})，有(n - r)个自由未知量(x_{i_1}, cdots,x_{i_n})
一般解为：
[egin{cases} x_1 &= b_{11}x_{i_1} + cdots + b_{1, n - r}x_{i_{n-r}} + d_1 \ x_{j_2} &= b_{21}x_{i_1} + cdots + b_{2, n - r}x_{i_{n-r}} + d_2 \ cdots \ x_{j_r} &= b_{r1}x_{i_1} + cdots + b_{r, n - r}x_{i_{n-r}} + d_r \ end{cases} ] - 情况 2.1：(r = n)时，此时(J_1)有(n)个主元，且第(i)个主元位于第(i)列，即：
定义 1：
常数项全为(0)的线性方程组称为齐次线性方程组((0, 0, cdots, 0))是方程的一个解，称为零解，其余的解（若存在）称为非零解。（由于最后一列始终是(0)，因此只需变换系数矩阵）。
推论 1：
(n)元齐次线性方程组有非零解的充要条件：其系数矩阵经过初等行变换成的阶梯矩阵中，非零行的数目(r < n)（未知数数目）。
证明：
充分性：由定理 1 后半部分得到。
必要性：加入(r)不小于(n)，则(r = n)，则有唯一解只能为(0)解，不存在非零解，矛盾！故(r < n)。
推论 2：
(n)元齐次线性方程组如果方程的数目(s)小于未知量的数目(n)，那么其一定有非零解((r < s < n))