[egin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \
end{cases}
]
其中(a_{11},a_{21})不全为(0)，不妨设(a_{11} eq 0)
[egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & b_2
end{pmatrix}
longrightarrow
egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \
0 & frac{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}{a_{11}} & b_2 - frac{a_{21}}{a_{11}}b_1
end{pmatrix}
]
- 情况 1：(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} eq 0)，此时方程有唯一解
- 情况 2：(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} = 0)，此时方程无解或无穷解
记：
[egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
end{vmatrix}
:= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
]
矩阵(A)的行列式记作(|A|)或(det A)(determinant)
数域(K)上系数矩阵(A)的二元一次方程组有唯一解 (Leftrightarrow |A| eq 0)
(n)个不同的正整数的一个全排列，称为一个(n)元排列，有(n!)个全排列。
定义 1：
一个排列中的逆序的总数称为逆序数，记为( au)
逆序数是奇（偶）数的排列称为奇（偶）排列
一个排列中两个数交换位置其余数不动，称为对换，记作((a,b))
定理 1：对换改变排列的奇偶性
证明：
- 情况 1：对换的两个数相邻(cdots i j stackrel{(i,j)}{longrightarrow} cdots j i cdots)
只有(ij)的排列改变了，则逆序数相差(1)，奇偶性相反。 - 情况 2：两个数不相邻(cdots i k_1 cdots k_s j stackrel{(i,j)}{longrightarrow} cdots j k_1 cdots k_s i cdots)。
先经过(s + 1)次对换，((i, k_1), (i, k_2, dots, (i, k_s), (i, j))，依次对换得(cdots k_1 cdots k_s j i cdots)。
再经过(s)次对换，((j,k_s), (j, k_{s-1}),dots,(j,k_1))依次对换得(cdots j k_1 cdots k_s i cdots)
共(2s+1)次对换，从而奇偶性相反。
注意：自然序列是偶排序，因为( au (123dots n) = 0)
定理 2：任一(n)元排列与自然序列可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与(n)元排列有相同的奇偶性。
证明：(j_1j_2cdots j_n stackrel{s次对换}{longrightarrow} 12cdots n)
若(j_1j_2cdots j_n)是奇（偶）排列，则(s)必为奇（偶）数
定理 3：在全部(n)元排列((n > 1))中，偶排列和奇排列各占一半
证明：设奇排列(s)个，偶排列(t)个。
若将所以奇排列前两项进行对换，则得到(s)个偶排列。又因为所以偶排列有(t)个，因此(s leq t)
同理，将偶排列做以上操作，(s geq t)，故(s = t = frac{n!}{2})