考虑三阶行列式：
[egin{aligned}
|A| &= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) \
&+ a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{32}) \
&= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}
end{aligned}
]
其中：
[M_{11} =
egin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \
a_{32} & a_{33}
end{vmatrix}
,
M_{12} =
egin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \
a_{31} & a_{33}
end{vmatrix}
,
M_{13} =
egin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \
a_{31} & a_{32}
end{vmatrix}
]
((-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij})，行列指标和的奇偶性决定正负号。
定义 2.4.1：
(n)级矩阵(A=(a_{ij}))，划去(A)的((i,j))元所在的第(i)行和第(j)列，剩下的元素按原来的顺序构成一个(n-1)级行列式，称为矩阵(A)的((i,j))元的余子式，记为(M_{ij})，令(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij})，称(A_{ij})是(A)的((i,j))元的代数余子式。
定理 2.4.1：
(n)级矩阵(A)的行列式(|A|)等于它的第(i)行元素与自己的代数余子式的成绩之和，即：
[egin{aligned}
|A| &= a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + dots + a_{in}A_{in} \
&= sum_{j = 1}^n a_{ij}A_{ij}
end{aligned}
]
其中(i in {1, 2, 3, dots, n})。上式称为(n)阶行列式按第(i)行的展开式。
证明：将(|A|)按第(i)行的(n)个元素分成(n)组
[egin{aligned}
|A| &= sum_{k_1dots k_{i - 1}jk_{i + 1}dots k_n}(-1)^{ au(k_1dots k_{i-1}jk_{i+1}dots k_n)}a_{ik_1}dots a_{i-1,k-1}a_{ij}a_{i+1,k+1}dots a_{n,k_n} \
&= sum_{jk_1dots k_{i - 1}k_{i + 1}dots k_n}(-1)^{ au(jk_1dots k_{i-1}k_{i+1} dots k_n)+ au(i,1,2dots i-1,i+1dots n)}a_{ij}a_{ik_1}dots a_{i-1,k-1}a_{i+1,k+1}dots a_{n,k_n} \
&= sum_{jk_1dots k_{i - 1}k_{i + 1}dots k_n}(-1)^{i-1}(-1)^{j-1}(-1)^{ au(k_1dots k_{i-1}k_{i+1} dots k_n)}a_{ij}a_{ik_1}dots a_{i-1,k-1}a_{i+1,k+1}dots a_{n,k_n} \
&= sum_{j=1}^n (-1)^{i + j}a_{ij}[sum_{k_1dots k_{i - 1}k_{i + 1}dots k_n}(-1)^{ au(k_1dots k_{i-1}k_{i+1} dots k_n)}a_{ik_1}dots a_{i-1,k-1}a_{i+1,k+1}dots a_{n,k_n}] \
&= sum_{j=1}^n (-1)^{i + j}a_{ij}M_{ij} \
&= sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}
end{aligned}
]
定理2.4.2：
(n)级矩阵(A)的行列式(|A|)等于它的第(j)列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即：
[egin{aligned}
|A| &= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + dots + a_{nj}A_{nj} \
&= sum_{i = 1}^n a_{ij}A_{ij}
end{aligned}
]
其中(j in {1, 2, 3, dots, n})
证明：
将(|A'|)按第(j)行展开，且(A')的((j,i))元为(A)的((i,j))元，(|A'|)的((j,i))元的代数余子式等于(|A|)的((i,j))元的代数余子式。(|A| = |A'| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + dots + a_{nj}A_{nj})
定理2.4.3：
(n)级矩阵(A)的行列式(|A|)的第(i)行元素与第(k)行（(k
eq i)）相应元素的代数余子式的乘积之和等于(0)，即：(a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + dots + a_{in}A_{kn} = 0)
证明：
展开式对应的行列式为：
[|B| =
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}
]
又(|B| = 0)，故结论成立
定理 2.4.4：
(n)级矩阵(A)的行列式(|A|)的第(j)列元素与第(l)列元素（(l leq j)）相应元素的代数余子式的乘积之和等于(0)
定理 2.4.5（范德蒙德行列式）：
[|V| =
egin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & cdots & 1 \
a_1 & a_2 & a_3 & cdots & a_n \
vdots & vdots & vdots & & vdots \
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & cdots & a_n^{n-1}
end{vmatrix}
=prod_{1 leq j < i leq n}(a_i - a_j)
]
证明：数学归纳法证明，
当(n = 2)时，有：
[egin{vmatrix}
1 & 1\
a_1 & a_2
end{vmatrix}
= a_2 - a_1
成立！
]
假设(n-1)阶行列式成立，则对于(n)阶行列式
[egin{aligned}
egin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & cdots & 1 \
a_1 & a_2 & a_3 & cdots & a_n \
vdots & vdots & vdots & & vdots \
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & cdots & a_n^{n-1}
end{vmatrix}
&=
egin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & cdots & 1 \
a_1 & a_2 & a_3 & cdots & a_n \
vdots & vdots & vdots & & vdots \
a_1^{n-2} & a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & cdots & a_n^{n-2} \
0 & a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \
end{vmatrix}
\
&=
egin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & cdots & 1 \
0 & a_2 - a_1 & a_3 - a_1 & cdots & a_n-a_1 \
0 & a_2(a_2 - a_1) & a_3(a_3 - a_1) & cdots & a_n(a_n-a_1) \
vdots & vdots & vdots & & vdots \
0 & a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \
end{vmatrix}
\
&=
egin{vmatrix}
a_2 - a_1 & a_3 - a_1 & cdots & a_n-a_1 \
a_2(a_2 - a_1) & a_3(a_3 - a_1) & cdots & a_n(a_n-a_1) \
vdots & vdots & & vdots \
a_2^{n-2}(a_2-a_1) & a_3^{n-2}(a_3-a_1) & cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \
end{vmatrix}
\
&= (a_2 - a_1)(a_3-a_2)dots (a_n-a_1)
egin{vmatrix}
1 & 1 & cdots & 1 \
a_2 & a_3 & cdots & a_n \
vdots & vdots & & vdots \
a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & cdots & a_n^{n-2}
end{vmatrix}
\
&= prod_{1 leq j < i leq n}(a_i - a_j)
end{aligned}
]
由数学归纳法证毕！