2.5 克拉默法则

增广矩阵( ilde{A} stackrel{初等行变换}{longrightarrow})阶梯形矩阵( ilde{J})
系数矩阵(A stackrel{初等行变换}{longrightarrow})阶梯形矩阵(J)

1. 方程组无解 (Rightarrow)( ilde{J})有非零行((0,0,dots,0,d)) (Rightarrow)(J)有零行(Rightarrow)(|J| = 0)

2. 方程组有无穷多个解(Rightarrow)( ilde{J})非零行数目(r < n)（( ilde{J})的行数）(Rightarrow)( ilde{J})有(0)行(Rightarrow)(J)有(0)行(Rightarrow)(|J| = 0)

3. 方程组有唯一解(Rightarrow)( ilde{J})非零行数目(r = n)(Rightarrow)(J)有(n)个非(0)行(Rightarrow)(J)有(n)个主元

[J = egin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n} \ 0 & c_{22} & cdots & c_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ 0 & 0 & cdots & c_{nn} end{pmatrix} 其中c_{11},c_{12},dots, c_{nn}不为0 \ herefore |J| eq 0 ]

故方程组有唯一解(Leftrightarrow |J| eq 0 Leftrightarrow |A| eq 0(|J| = l|A|, l eq 0))

定理 1：
数域(K)上(n)个方程的(n)元线性方程组，有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于(0)

推论 1：
数域(K)上的(n)个方程(n)元齐次线性方程组只有零解的充要条件是(|A| = 0)，而有非零解的充要条件是(|A| eq 0)

拓展：
二阶行列式表示的是平行四边形的面积，三阶行列式表现的是平行六面体的体积。