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  • Lecture 4:LU分解

    对矩阵(A),有(E_{21}A = U)

    [egin{pmatrix} 1 & 0 \ -4 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 & 1 \ 8 & 7 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 3 end{pmatrix} ]

    现在要转换成(A = LU)的形式,这里的(L)即为(E_{21}^{-1})

    [egin{pmatrix} 2 & 1 \ 8 & 7 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 3 end{pmatrix} ]

    这种分解形式相当于将一个矩阵分解为一个对角线全为(1)的下三角矩阵与一个对角线为主元的上三角矩阵的乘积。
    另外一种分解方式是(A = LDU),其中(D)是一个对角线为主元的对角矩阵(diagonal),如:

    [egin{pmatrix} 2 & 1 \ 8 & 7 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 3 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & frac{1}{2} \ 0 & 1 end{pmatrix} ]

    一般情况下,在没有行交换的情况下,所有的乘数都直接进入到(L)当中了。

    (n)阶矩阵(A)通过初等行变换,变为(U),总共大概需要(n^2 +(n - 1)^2 + dots ,1^2 approx frac{1}{3}n^3)次操作

    (LU)分解一个比较重要的意义在于加速(多个)线性方程组的求解。
    首先将(A)分解为(LU)的形式,然后再计算(LUx = b)
    计算(LUx = b),可以分为两步,即:(Ly = b, Ux = y)。这两个线性方程组的求解都是(O(n^2))的。

    置换矩阵(P)(P^{-1} = p^T)(n)阶置换总共有(n!)种可能性。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/miraclepbc/p/14465551.html
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