四个基本子空间:
列空间(column space):(C(A))
零空间(null space):(N(A))
行空间(row space):(C(A^T))
左零空间:(N(A^T))
(C(A^T))和(N(A))在(R^n)中,(C(A))和(N(A^T))在(R^m)中
(dim C(A) = r),所有主元列构成一组基
(dim C(A^T) = r),一组基是最简行阶梯矩阵的前(r)行
(dim N(A) = n - r),一组基是([-F, I]^T)
(dim N(A^T) = m - r)
注意:行变换不改变行空间,但是改变列空间。
求左零空间一组基的方法,根据(EA = R)得:
[egin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \
1 & -1 & 0 \
-1 & 0 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \
1 & 1 & 2 & 1 \
1 & 2 & 3 & 1
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
]
左零空间的一组基即为(E)的最后一行!
一种新的观点:
定义一种新的向量空间(M)(矩阵空间):所有的(3 imes 3)矩阵!
子空间:上三角矩阵、对称阵、对角矩阵
对角矩阵所构成的子空间,维度是(3)。
可以找一组基:
[egin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
end{pmatrix}
,
egin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0
end{pmatrix}
,
egin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 7
end{pmatrix}
]