《算法法论学习笔记》-- 数组最大子数组(分治法)

最大子数组

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算法描述：

1 找到数组中间位置mid，分成两个数组[low,mid],[mid,high]
2 最大子数组即为，[low,mid],[mid,high]和跨越mid的数组，3种情况之中的最大者。
3 [low,mid],[mid,high]可以使用递归算法求解
4 跨越中间点的情况，从中间点分别向左右遍历，寻找最大的包含中间点的最大子数组。将两者相加
5 比较[low,mid],[mid,high]和跨越mid的数组重的最大者即为所求

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时间复杂度：

最大子段和即为这三个区间的最大子段和的最大值。因此原问题可化为两个求解规模为 n/2 的子问题，和求解一个跨越中点的序列的最大子段和问题。其中第三种情况可分别求解序列 a1,...,amida1,...,amid 和 amid+1,...,anamid+1,...,an 的最大子序列，然后将两者合并即可，因此该部分的时间复杂度为 Θ(n)。算法的时间复杂度可用递归的形式表示为：
T(n)={Θ(1),n=12T(n/2)+Θ(n),n>1
T(n)={Θ(1),n=12T(n/2)+Θ(n),n>1
可得，算法的复杂度为T(n)=Θ(nlgn)T(n)=Θ(nlgn)。

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java 实现

import static java.lang.Float.POSITIVE_INFINITY;
/*
@Time    :2019/5/18 0018 下午 7:11
@Author  :喜欢二福的沧月君（necydcy@gmail.com）
@FileName: MaxCrossing.java
@Software: IntelliJ IDEA
*/
public class MaxCrossing {
    /*
    * 最大子数组:
    * 分治法求解
    * 1 找到数组中间位置mid，分成两个数组[low,mid],[mid,high]
    * 2 最大子数组即为，[low,mid],[mid,high]和跨越mid的数组，3种情况之中的最大者。
    * 3 [low,mid],[mid,high]可以使用递归算法求解
    * 4 跨越中间点的情况，从中间点分别向左右遍历，寻找最大的包含中间点的最大子数组。将两者相加
    * 5 比较[low,mid],[mid,high]和跨越mid的数组重的最大者即为所求
    * */
    public static void main(String[] args)
    {
        //测试函数
        int[] array = { 9,10,8,12,6,10,12,11,9,1 };
        int[] arr = new int[array.length-1];
        for (int i = 0; i <array.length-1 ; i++) {
            arr[i] = array[i+1]-array[i];
        }
        int[] result =FindMaxImumSubarray(arr, 0, arr.length - 1);
        for (int value : result) {
            System.out.println(value);
        }
        System.out.println("最大子字符串和："+(array[result[0]]+array[result[1]]));
    }

    private static int[] FindMaxImumSubarray(int[] A, int low, int high) {

        if (high == low){
            return new int[]{low,high,A[low]};
        }
        else {
            int mid = (low+high)/2;
            int[] lefts = new int[3];
            int[] mids = new int[3];
            int[] rights = new int[3];
            lefts = FindMaxImumSubarray(A,low,mid);
            rights = FindMaxImumSubarray(A,mid+1,high);
            mids = FindMaxCrossingSubarray(A,low,mid,high);
            assert rights != null;
            assert lefts != null;
            if (lefts[2]>rights[2]&&lefts[2]>mids[2]){
                return lefts;
            }
            else if (rights[2]>lefts[2]&&rights[2]>mids[2]){
                return rights;
            }
            else return mids;
        }
    }

    private static int[] FindMaxCrossingSubarray(int[] A, int low, int mid, int high) {
        int leftSum = (int) -POSITIVE_INFINITY;
        int sum = 0;
        int maxLeft = 0;
        for (int i = mid; i >=low ; i--) {
            sum += A[i];
            if (sum>leftSum){
                leftSum = sum;
                maxLeft = i;
            }
        }
        int rightSum = (int) -POSITIVE_INFINITY;
        sum = 0;
        int maxRight = 0;
        for (int j = mid+1; j <=high ; j++) {
            sum += A[j];
            if (sum>rightSum){
                rightSum = sum;
                maxRight = j;
            }
        }
        return new int[]{maxLeft,maxRight,leftSum+rightSum};
    }
}