leetcode之Unique Binary Search Trees

题目描述:

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

给定一个数n, 计算从1, 到n 有多少种二叉查找树的结构.

题解:
   看到这个题目，其实是没有想法的，直觉是n 和n-1之间肯定有某种联系。查看了网上的题解后，将自己的理解写下来：

1. 对于从1到n 个数来说， 每一个数字都可以作为二叉查找树的根节点的。 
2. 当第i个数作为根节点时， 由二叉查找树的性质可以得到：其左边的数都小于i，右边的树都大于i。 
　　因此i为根节点时，左边的子树的取值范围为：k = 0~i-1， 右边子树的取值范围为 m = i+1 ~n  
3. 当左边子树0~i-1，其种类有d[i-1] 个，右边子树取值为 i+1 ~n 共有n-i-1个 其种类为d[n-i-1]依次为根节点时，
　　 注意：对于1，2，3 这三个数 和 4，5，6或者是7，8，9构成的子树种类是一样的 由此
   写成表达式为： d[i] = sum(d[k] * d[i-k-1]) 其中k取值为 0~i-1
举个例子： 比如n=8
1. 1为根节点时，左边子树的取值为0， 右边的取值范围为： 2~8 共7个数， 因此其种类与d[7] 是一样的 d[8-0-1]
2. 2为根节点时，左边子树取值为1， 右边的取值为：3~ 8 与d[6] 是一样的， d[8-1-1]
依次类推：
初始条件：  当n= 0 时， d[0] = 1
　　　　　　d[1] = d[0] = 1
　　　　　　d[2] = d[0]*d[1] + d[1]*d[0]
采用动态规划来解： 使用n维数组存储d[i] 
for i in range (1, n+1):
　　for k in range (0, i):
　　　　d[i] = d[i] + d[k]*d[i-k-1]
return d[i]