呃，省赛已经过去了，生活应该继续~~ 好几天没写博了，一直在研究KM算法，今天算是有点小明白了，做了一道模板题练练手。
先讲讲我理解的KM算法吧，如果你已经学会二分匹配中的匈牙利算法，那么要理解KM算法就很容易了，其实KM算法就是在匈牙利算法的基础上加上两点的权值。
首先是相等子图的概念：设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图称做相等子图。
如果相等子图中有完备匹配，则这个完备匹配就是该二分图的最大权匹配。
再解释下什么叫完备匹配：所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：
Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
看看代码比较好理解：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <math.h> #include <iostream> #include <algorithm> #define maxx 201 #define INF 0xffffff using namespace std; struct node { int x ; int y ; }h[maxx] , p[maxx] ; int mm[maxx][maxx] ; int vistx[maxx] ,visty[maxx] ; int lx[maxx] , ly[maxx] ;//顶标 int match[maxx] ; int tn , tm ; int find ( int x ) { int i ; vistx[x] = 1; for ( i = 0 ; i < tm ; i++ ) { if ( !visty[i] && lx[x] + ly[i] == mm[x][i] ) { visty[i] = 1; if ( match[i] == -1 || find ( match[i] )) { match[i] = x; return 1; } } } return 0; } int main() { int n , m , i , j , k ; char str[maxx]; while ( scanf ( "%d%d" , &n , &m ) , n + m ) { tn = tm = 0; for ( i = 0 ; i < n ; i++ )//存储H和m的位置 { cin>>str; for ( j = 0 ; j < m ; j++ ) { if ( str[j] == 'H' ) { h[tn].x = i; h[tn].y = j; tn++; } else if ( str[j] == 'm' ) { p[tm].x = i ; p[tm].y = j ; tm++; } } } memset( mm , 0 , sizeof ( mm ));//建立连接 for ( i = 0 ; i < tn ; i++ ) for ( j = 0 ; j < tm ; j++ ) mm[i][j] = abs( h[i].x - p[j].x ) + abs( h[i].y - p[j].y ); memset( lx , 1 , sizeof( lx ));//初始化lx； memset( ly , 0 , sizeof( ly ));// for ( i = 0 ; i < tn ; i++ ) for ( j = 0 ; j < tm ; j++ ) if ( mm[i][j] < lx[i] ) lx[i] = mm[i][j] ;//如果是最大权值匹配 则初始值顶标取最大值 //若是最小匹配则取最小值 memset( match , -1 , sizeof ( match )); for ( i = 0 ; i < tn ; i++ ) { for ( ; ; ) { memset( vistx , 0 , sizeof ( vistx )); memset( visty , 0 , sizeof ( visty )); if ( find ( i ))//寻找完备匹配 break; int minn = INF ; for ( j = 0 ; j < tn ; j++ ) { if ( vistx[j] )//xj点在搜索数上 { for ( k = 0 ; k < tm ; k++ ) if ( !visty[k] && mm[j][k] - lx[j] -ly[k] < minn )//yk点不在搜索树上， minn = mm[j][k] - lx[j] - ly[k]; //找出顶标最大能改进的d值 } } for ( j = 0 ; j < tn ; j++ )//用d来改进搜索树上各点的顶标 if ( vistx[j]) lx[j] += minn ; for ( j = 0 ; j < tm ; j++ ) if ( visty[j] ) ly[j] -= minn; } } int sum = 0; for ( i = 0 ; i < tm ; i++ ) sum += mm[match[i]][i]; cout<<sum<<endl; } }