4.1 导数与微分
4.1.1 导数概念的引入（略）
4.1.2 导数的定义
也就是说，导数最初的定义是对于一个点而言的。在这个点上可不可导
-
如果我们将一个点 (x_0) 变成所有点 (x) ，那么导数就变成了导函数
-
如果我们将 (x - x_0) 换成 (Delta x) 那么这个式子就变成了：
[mathop{lim}limits_{Delta x o 0} frac{f(x + Delta x) - f(x)}{Delta x}
]
注意：对于任意固定的 (x) 都求一次 (Delta x) 极限，得到的是当前 (x) 的导数值
相关例题
求常数函数 (f(x) = C) 在点 (x_0 in (-infty,+infty)) 的导数
解： 显然 (f(x)) 在 ((-infty,+infty)) 上有定义。
(f(x)) 在 (x_0) 处的导数 (f'(x_0) = mathop{lim}limits_{Delta x o 0} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x} = mathop{lim}limits_{Delta x o 0} frac{C - C}{Delta x} = 0)
设函数 (f(x)) 在 ((a,b)) 上有定义，且在点 (x_0 in (a,b)) 处可导，并假设序列 ({ x_n }) 和 ({ y_n }) 满足
[a < x_n < x_0 < y_n < b, qquad n = 1, 2, cdots, ]
且有
[lim_{n o infty} x_n = x_0 = lim_{n o infty} y_n
]
证明：
[lim_{n o infty} frac{ f(y_n) - f(x_n) }{y_n - x_n} = f'(x_0)
]
***证：*** ==技巧：== 将 $Largefrac{ f(y_n) - f(x_n) }{y_n - x_n}$ 转化为 $Largefrac{ left(f(y_n) - f(x_0) ight) - left(f(x_n) - f(x_0) ight) }{y_n - x_n}$ 进一步转化为
[frac{ y_n - x_0 }{y_n - x_n}frac{ f(y_n) - f(x_0) }{y_n - x_0} - frac{ x_n - x_0 }{y_n - x_n}frac{ f(x_n) - f(x_0) }{x_n - x_0}
]
4.1.3 单侧可导
(类似单侧连续，单侧极限)右邻域上右可导 (f'_{+}(x_0)) ，左邻域上左可导 $ f'_{-}(x_0)$ 。
(类似连续，极限)左右可导且相等 (Longleftrightarrow) 该点处才可导
4.2 导数的运算
4.2.1 导数的四则运算
[(f(x)pm g(x))' = f'(x) pm g'(x) ag{4.2.1-1}
]
[(f(x) cdot g(x))' = f'(x)cdot g(x) + f(x)cdot g'(x) ag{4.2.1-2}
]
[left(frac{f(x)}{g(x)}
ight)' = frac{f'(x)cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)}{g^2(x) ag{4.2.1-3}}
]
初等函数求导公式
1. ((sin x)' = cos x) 2. ((cos x)' = -sin x) 3. ((x^alpha)' = alpha x^{alpha - 1}(alpha != 0)) 4. ((C)' = 0) 5. ((a^x)' = a^xln a \,(a > 0)) 6. ((log_ax)' = frac{1}{xln a})
4.2.2 复合函数求导
[(f(g(x)))' = f'(g(x))cdot g'(x)
]
由外向内求导。
4.2.3 反函数求导
1. 相关定义
导数
若 (f(x)) 在 (U(x_0,delta_0)) 处有定义，且满足
[mathop{lim}limits_{x oinfty} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} ]则称 (f(x)) 在 (x_0) 处可导，(f'(x_0)) 为 (f(x)) 在 (x_0) 处的导数