BZOJ4710 [Jsoi2011]分特产 容斥原理

4710: [Jsoi2011]分特产

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Description

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。

JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任

何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。

例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的

分配方法：

A：麻花，B：麻花、包子

A：麻花、麻花，B：包子

A：包子，B：麻花、麻花

A：麻花、包子，B：麻花

 

Input

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。

第二行包含M 个整数，表示每一种特产的数量。

N, M 不超过1000，每一种特产的数量不超过1000

 

Output

输出一行，不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大，你只需要输出最终结果

MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

 

Sample Input

5 4
1 3 3 5

Sample Output

384835

 

昨天多校容斥原理做的很不顺手，没有理解容斥的精髓，遂找到该题练手。

题解：

m个物品分给n人-m个物品分给n-1人×c(n,1)+m个物品分给n-2人×c(n-2).........一直容斥下去

将m个物品分给n人=c(m+n-1,n-1) -----为避免部分人分不到物品的讨论，假设初始状态没人均有1个物品，问题转化为m+n个物品分给n人，且保证每人均有物品，有隔板法易得c(m+n-1,n-1)

#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;
ll fac[2005],ifac[2005];//fac[n]表示n!，ifac[n]表示n！的逆元
ll ans;
ll a[1005];
int n,m;
ll quick(ll x,ll y)
{
    ll res = 1;
    while(y)
    {
        if (y&1) res = (res * x) % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return res % mod;
}
void init(){
    fac[0] = ifac[0] = 1;
    for (int i = 1;i < 2002;++i){
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
        ifac[i] = quick(fac[i],mod-2);
    }
}

ll c(ll n,ll k){
    if (k == 0) return 1;
    return fac[n] * ifac[k] % mod * ifac[n-k] % mod;
}

ll fen(ll num){
    ll res= 1;
    for (int i = 1;i <= m;++i){
        res = res * c(a[i]+num-1,num-1) % mod;
    }
    return res;
}

int main(){
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1;i <= m;++i) scanf("%lld",a+i);
    ans = 0;
    for (int i = 0;i < n;++i){
        ans = (ans + c(n,i) * fen(n-i) % mod * ((i & 1) ? -1ll : 1ll) + mod) % mod;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}