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  • 数论--欧拉函数

    欧拉函数概念及代码实现

    概念梳理:

         欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 

         欧拉函数的性质:它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后,所有的素数幂上的欧拉函数之积。

         欧拉函数的值  通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。

      例如:φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。(即p不能重复)比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3))=4

        推论:当n为奇数时,有φ(2n)=φ(n)。

        若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
        设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
        欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
        特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
    代码实现:
      由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子,所以只需遍历到根号n即可
     1 #include<iostream>
     2 using namespace std; 
     3 int oula(int n)
     4 {
     5     int rea=n;
     6     for(int i=2; i*i<=n; i++)
     7         if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
     8         {
     9             rea=rea-rea/i;
    10             do
    11                 n/=i;//把该素因子全部约掉
    12             while(n%i==0);
    13         }
    14     if(n>1)
    15         rea=rea-rea/n;
    16     return rea;
    17 }
    18 int main()
    19 {
    20     int n;
    21     cin>>n;
    22     cout<<oula(n); 
    23     return 0;
    24 }
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    P2486 [SDOI2011]染色
    P2146 [NOI2015]软件包管理器
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mjtcn/p/6743790.html
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