1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + 

… + (an-bn)^2 )

分析

在一个n维空间中有一个球，然后求出圆心。给出了球上的n+1个点。

这n+1个点都满足到球心的距离相等。设出圆心$(a_1,a_2...a_n)$，则对于每个球上的点$(x_1,x_2...x_n)$，都有

$(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+...+(x_n-a_n)^2=r^2$

两两合并，然后得到一个线性方程，利用高斯消元即可。

code

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 110;
double a[N][N],c[N];
int n;

void Gauss() {
    for (int k=1; k<=n; ++k) {
        // 选一行r与第i行交换
        int r = k;
        for (int i=k+1; i<=n; ++i) 
            if (fabs(a[i][k]) > fabs(a[r][k])) r = i;
        if (r != k) for (int j=1; j<=n+1; ++j) swap(a[r][j],a[k][j]);
        // 消元
        for (int i=k+1; i<=n; ++i) {
            double t = a[i][k] / a[k][k];
            for (int j=k; j<=n+1; ++j) a[i][j] -= t*a[k][j];
        }
    }
    // 回代
    for (int i=n; i>=1; --i) {
        for (int j=i+1; j<=n; ++j) 
            a[i][n+1] -= a[j][n+1]*a[i][j];
        a[i][n+1] /= a[i][i];
    }
}
int main () {
    double x;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) 
        scanf("%lf",&c[i]);
    for (int i=1; i<=n; ++i) 
        for (int j=1; j<=n; ++j) {
            scanf("%lf",&x);
            a[i][j] = (x*2-c[j]*2);
            a[i][n+1] += (x*x-c[j]*c[j]);
        }
    Gauss();
    for (int i=1; i<n; ++i) 
        printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
    printf("%.3lf",a[n][n+1]);
    return 0;
}