[BZOJ2190&BZOJ2705]欧拉函数应用两例

欧拉函数phi[n]是表示1~n中与n互质的数个数。

可以用公式phi[n]=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)...*(1-1/pk)来表示。（p为n的质因子）

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求phi[p]的过程：

procedure calc(p:longint;var sum:longint);
var i:longint;
begin
    sum:=p;
    for i:=2 to trunc(sqrt(p)) do
        if p mod i=0 then 
        begin
            sum:=sum div i*(i-1);    
            while p mod i=0 do p:=p div i;
                        // 保证每次都是质因子
        end;
    if p<>1 then sum:=sum div p*(p-1);
        // 如果p自身是质数的情况
end;

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BZOJ2190

　　直接套用即可，不处理1的情况最后加上3。需要注意的是读进来的方阵大小应该-1。

　　直接贴代码。

program bzoj2190;
const maxn=40010;
var n,i,ans:longint;
      phi:array[-1..maxn]of longint;
procedure calc(p:longint;var sum:longint);
var i:longint;
begin
    sum:=p;
    for i:=2 to trunc(sqrt(p)) do
        if p mod i=0 then 
        begin
            sum:=sum div i*(i-1);    
            while p mod i=0 do p:=p div i;
        end;
    if p<>1 then sum:=sum div p*(p-1);
end;

begin
    readln(n);dec(n);
    for i:=2 to n do calc(i,phi[i]);
    ans:=0;
    for i:=2 to n do inc(ans,phi[i]);
    if n<>1 then writeln(ans*2+3) else writeln(0);
end.

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BZOJ 2705

　　刚开始看可能无从下手。但是再看一眼会发现，如果枚举某个数与n的最大公约数，再求出这样的数有多少的话可能就有方法处理了。

　　我们来思考有多少个数与n的最大公约数是x，不难想出，当这个数/x，n/x的时候两数互质。也就是其个数=phi[n/x]！

　　所以只需要枚举所有的最大公约数（枚举到sqrt(n)）即可。

　　需要注意的是如果n正好是完全平方数，sqrt(n)会被计算两次。于是特判。

　　另外这道题给我们一点启发：sigma(phi[n/i])(n mod i=0)=n！

　　虽然目前还没有发现有哪里可以应用，但是式子非常优美。。>_<

　　

program bzoj2705;
var i:longint;
      ans,n:int64;

function phi(p:int64):int64;
var i:longint;
    ans:int64;
begin
    ans:=p;
    for i:=2 to trunc(sqrt(p)) do if p mod i=0 then
    begin
        ans:=ans*(i-1) div i;
        while p mod i=0 do p:=p div i;
    end;
    if p<>1 then ans:=ans*(p-1) div p;
    exit(ans);
end;
 
begin
    //sign(input,'a.in');reset(input);
    while not eof do 
    begin
        readln(n);
        ans:=0;
        for i:=1 to trunc(sqrt(n)) do if n mod i=0 then 
        begin
            inc(ans,i*phi(n div i));
            if i*i<>n then inc(ans,(n div i)*phi(i));
        end;
        writeln(ans);        
    end;
end.