一 前言
朴素贝叶斯算法是有监督的学习算法，解决的是分类问题，如客户是否流失、是否值得投资、信用等级评定等多分类问题。该算法的优点在于简单易懂、学习效率高、在某些领域的分类问题中能够与决策树、神经网络相媲美。但由于该算法以自变量之间的独立（条件特征独立）性和连续变量的正态性假设为前提，就会导致算法精度在某种程度上受影响。
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朴素贝叶斯视频：http://pan.baidu.com/s/1kUJjoCv 密码：b2wr
二 朴素贝叶斯理论
朴素贝叶斯是贝叶斯决策理论的一部分，所以在讲述朴素贝叶斯之前有必要快速了解一下贝叶斯决策理论。
1 贝叶斯决策理论
假设现在我们有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如下图所示：
我们现在用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于类别1(图中红色圆点表示的类别)的概率，用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于类别2(图中蓝色三角形表示的类别)的概率，那么对于一个新数据点(x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：
- 如果p1(x,y) > p2(x,y)，那么类别为1
- 如果p1(x,y) < p2(x,y)，那么类别为2
也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。已经了解了贝叶斯决策理论的核心思想，那么接下来，就是学习如何计算p1和p2概率。
2 条件概率
在学习计算p1和p2概率之前，我们需要了解什么是条件概率(Condittional probability)，就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。
根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。
因此，
同理可得，
所以，
即
这就是条件概率的计算公式。
3 全概率公式
除了条件概率以外，在计算p1和p2的时候，还要用到全概率公式，因此，这里继续推导全概率公式。
假定样本空间S是两个事件A与A’的和。
上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A’，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。
即
在上一节的推导当中，我们已知
所以，
这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A’构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A’的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：
4 贝叶斯推断
对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：
我们把P(A)称为”先验概率”（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
P(A|B)称为”后验概率”（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
P(B|A)/P(B)称为”可能性函数”（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
所以，条件概率可以理解成下面的式子：
后验概率 ＝ 先验概率 ｘ 调整因子- 1
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率”，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了”先验概率”，由此得到更接近事实的”后验概率”。
在这里，如果”可能性函数”P(B|A)/P(B)>1，意味着”先验概率”被增强，事件A的发生的可能性变大；如果”可能性函数”=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果”可能性函数”<1，意味着”先验概率”被削弱，事件A的可能性变小。
为了加深对贝叶斯推断的理解，我们举一个栗子。
两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？
我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做”先验概率”，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。
再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做”后验概率”，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。
根据条件概率公式，得到
已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于30÷(30+10)=0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，
所以，
将数字代入原方程，得到
这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。
同时再思考一个问题，在使用该算法的时候，如果不需要知道具体的类别概率，即上面P(H1|E)=0.6，只需要知道所属类别，即来自一号碗，我们有必要计算P(E)这个全概率吗？要知道我们只需要比较 P(H1|E)和P(H2|E)的大小，找到那个最大的概率就可以。既然如此，两者的分母都是相同的，那我们只需要比较分子即可。即比较P(E|H1)P(H1)和P(E|H2)P(H2)的大小，所以为了减少计算量，全概率公式在实际编程中可以不使用。
5 朴素贝叶斯推断
理解了贝叶斯推断，那么让我们继续看看朴素贝叶斯。贝叶斯和朴素贝叶斯的概念是不同的，区别就在于“朴素”二字，朴素贝叶斯对条件个概率分布做了条件独立性的假设。 比如下面的公式，假设有n个特征：
由于每个特征都是独立的，我们可以进一步拆分公式
这样我们就可以进行计算了。如果有些迷糊，让我们从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。
某个医院早上来了六个门诊的病人，他们的情况如下表所示：
| 症状 | 职业 | 疾病 |
|---|---|---|
| 打喷嚏 | 护士 | 感冒 |
| 打喷嚏 | 农夫 | 过敏 |
| 头痛 | 建筑工人 | 脑震荡 |
| 头痛 | 建筑工人 | 感冒 |
| 打喷嚏 | 教师 | 感冒 |
| 头痛 | 教师 | 脑震荡 |
现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？
根据贝叶斯定理：
可得：
根据朴素贝叶斯条件独立性的假设可知，”打喷嚏”和”建筑工人”这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了
这里可以计算：
因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。
这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。
同样，在编程的时候，如果不需要求出所属类别的具体概率，P(打喷嚏) = 0.5和P(建筑工人) = 0.33的概率是可以不用求的。
6.朴素贝叶斯算法应用流程
| 步骤 | 项目 | 描述 |
| 1 | 收集数据 | 可以使用任何方法 |
| 2 | 准备数据 | 需要数值型或者布尔型数据 |
| 3 | 分析数据 | 有大量特征时，绘制特征作用不大，此时使用直方图效果更好 |
| 4 | 训练算法 | 计算不同的独立特征的条件概率 |
| 5 | 测试算法 | 计算错误率 |
| 6 | 应用算法 | 一个常见的朴素贝叶斯应用是文档分类。可以在任意的分类场景中使用朴素贝叶斯分类器，不一定非要是文本； |
三 动手实战
以在线社区留言为例。为了不影响社区的发展，我们要屏蔽侮辱性的言论，所以要构建一个快速过滤器，如果某条留言使用了负面或者侮辱性的语言，那么就将该留言标志为内容不当。过滤这类内容是一个很常见的需求。对此问题建立两个类型：侮辱类和非侮辱类，使用1和0分别表示。
我们把文本看成单词向量或者词条向量，也就是说将句子转换为向量。考虑出现所有文档中的单词，再决定将哪些单词纳入词汇表或者说所要的词汇集合，然后必须要将每一篇文档转换为词汇表上的向量。简单起见，我们先假设已经将本文切分完毕，存放到列表中，并对词汇向量进行分类标注。
def load_data_set():
"""
获取数据集
:return:
"""
posting_list = [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
class_vec = [0, 1, 0, 1, 0, 1] # 1:代表侮辱性言论， 0:代表正常言论
return posting_list, class_vec
接下来我们要先创建一个词汇表，并将切分好的词条转换为词条向量。
def create_vecab_list(data_set):
"""
创建一个包含在所有文档中出现且不重复的词汇表
:param data_set: 待处理文本数据集
:return: 不重复词汇列表
"""
vocab_set = set([]) # 创建一个空集
for i in data_set:
vocab_set = vocab_set | set(i)
return list(vocab_set)
def set_of_words_to_vec(vocab_list, input_set):
"""
将目标文档转换成向量：词集模型
:param vocab_list:词汇表
:param input_set:待处理文档
:return:转换后的文档向量
"""
return_vec = [0] * len(vocab_list) # 创建一个所含元素都为0的列表
for word in input_set:
if word in vocab_list:
return_vec[vocab_list.index(word)] = 1 # 如果词条存在于词汇表中，则置1
else:
print('单词：%s 没有出现' % word)
return return_vec
词汇表是用来干什么的？没错，它是用来将词条向量化的，一个单词在词汇表中出现过一次，那么就在相应位置记作1，如果没有出现就在相应位置记作0。
我们已经得到了词条向量。接下来，我们就可以通过词条向量训练朴素贝叶斯分类器。
def train_nb(train_data_set, train_category):
"""
训练朴素贝叶斯算法模型
:param train_data_set: 训练集数据
:param train_category:分类向量
:return:
"""
num_train_docs = len(train_data_set) # 训练集大小(计算训练的文档数目)
num_words = len(train_data_set[0]) # 计算每篇文档的词条数(统计单词数量)
p_abusive = sum(train_category) / float(num_train_docs) # 文档属于侮辱类的概率
# 创建numpy.zeros数组,词条出现数初始化为0
p_0_num = np.ones(num_words) # 正常概率向量
p_1_num = np.ones(num_words) # 侮辱性概率向量
p_0_denom = 2.0 # 分母项
p_1_denom = 2.0
for i in range(num_train_docs):
if(train_category[i] == 0): # 正常言论
p_0_num += train_data_set[i] # 统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|0),P(w1|0),P(w2|0)···
p_0_denom += sum(train_data_set[i])
else:
p_1_num += train_data_set[i] # 统计属于侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|1),P(w1|1),P(w2|1)···
p_1_denom += sum(train_data_set[i])
p_0_vect = np.log(p_0_num / p_0_denom)
p_1_vect = np.log(p_1_num / p_1_denom)
return p_0_vect, p_1_vect, p_abusive # 返回属于侮辱类的条件概率数组，属于非侮辱类的条件概率数组，文档属于侮辱类的概率
p0V存放的是每个单词属于类别0，也就是非侮辱类词汇的概率。比如p0V的倒数第6个概率，就是stupid这个单词属于非侮辱类的概率为0。同理，p1V的倒数第6个概率，就是stupid这个单词属于侮辱类的概率为0.15789474，也就是约等于15.79%的概率。我们知道stupid的中文意思是蠢货。显而易见，这个单词属于侮辱类。pAb是所有侮辱类的样本占所有样本的概率，从classVec中可以看出，一用有3个侮辱类，3个非侮辱类。所以侮辱类的概率是0.5。因此p0V存放的就是P(him|非侮辱类) = 0.0833、P(is|非侮辱类) = 0.0417，一直到P(dog|非侮辱类) = 0.0417，这些单词的条件概率。同理，p1V存放的就是各个单词属于侮辱类的条件概率。pAb就是先验概率。
已经训练好分类器，接下来，使用分类器进行分类。
def classify_nb(vec_to_classify, p_0_vect, p_1_vect, p_class):
"""
朴素贝叶斯分类器
:param vec_to_calssify:待分类向量
:param p_0_v: p(0)向量
:param p_1_v: p(1)向量
:param p_calss: 类别概率
:return:
"""
p_0 = sum(vec_to_classify * p_0_vect) + np.log(p_class)
p_1 = sum(vec_to_classify * p_1_vect) + np.log(1.0 - p_class)
if p_0 > p_1:
return 0
else:
return 1
完整代码普通实现：
import numpy as np
def load_data_set():
"""
获取数据集
:return:
"""
posting_list = [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
class_vec = [0, 1, 0, 1, 0, 1] # 1:代表侮辱性言论， 0:代表正常言论
return posting_list, class_vec
def create_vecab_list(data_set):
"""
创建一个包含在所有文档中出现且不重复的词汇表
:param data_set: 待处理文本数据集
:return: 不重复词汇列表
"""
vocab_set = set([]) # 创建一个空集
for i in data_set:
vocab_set = vocab_set | set(i)
return list(vocab_set)
def set_of_words_to_vec(vocab_list, input_set):
"""
将目标文档转换成向量：词集模型
:param vocab_list:词汇表
:param input_set:待处理文档
:return:转换后的文档向量
"""
return_vec = [0] * len(vocab_list) # 创建一个所含元素都为0的列表
for word in input_set:
if word in vocab_list:
return_vec[vocab_list.index(word)] = 1 # 如果词条存在于词汇表中，则置1
else:
print('单词：%s 没有出现' % word)
return return_vec
def train_nb(train_data_set, train_category):
"""
训练朴素贝叶斯算法模型
:param train_data_set: 训练集数据
:param train_category:分类向量
:return:
"""
num_train_docs = len(train_data_set) # 训练集大小(计算训练的文档数目)
num_words = len(train_data_set[0]) # 计算每篇文档的词条数(统计单词数量)
p_abusive = sum(train_category) / float(num_train_docs) # 文档属于侮辱类的概率
# 创建numpy.zeros数组,词条出现数初始化为0
p_0_num = np.ones(num_words) # 正常概率向量
p_1_num = np.ones(num_words) # 侮辱性概率向量
p_0_denom = 2.0 # 分母项
p_1_denom = 2.0
for i in range(num_train_docs):
if(train_category[i] == 0): # 正常言论
p_0_num += train_data_set[i] # 统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|0),P(w1|0),P(w2|0)···
p_0_denom += sum(train_data_set[i])
else:
p_1_num += train_data_set[i] # 统计属于侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|1),P(w1|1),P(w2|1)···
p_1_denom += sum(train_data_set[i])
p_0_vect = np.log(p_0_num / p_0_denom)
p_1_vect = np.log(p_1_num / p_1_denom)
return p_0_vect, p_1_vect, p_abusive # 返回属于侮辱类的条件概率数组，属于非侮辱类的条件概率数组，文档属于侮辱类的概率
def classify_nb(vec_to_classify, p_0_vect, p_1_vect, p_class):
"""
朴素贝叶斯分类器
:param vec_to_calssify:待分类向量
:param p_0_v: p(0)向量
:param p_1_v: p(1)向量
:param p_calss: 类别概率
:return:
"""
p_0 = sum(vec_to_classify * p_0_vect) + np.log(p_class)
p_1 = sum(vec_to_classify * p_1_vect) + np.log(1.0 - p_class)
if p_0 > p_1:
return 0
else:
return 1
if __name__ == '__main__':
list_posts, list_classes = load_data_set() # 获取样本[特征，分类]
my_vocab_list = create_vecab_list(list_posts) # 得到不重复的词汇表
training_data_set = []
for post_doc in list_posts:
training_data_set.append(set_of_words_to_vec(my_vocab_list, post_doc)) # 将文本转换成向量并做成训练集
p_0_vect, p_1_vect, p_abusive = train_nb(training_data_set, list_classes) # 朴素贝叶斯模型
# 将目标文档转换成向量
vec_to_classify = set_of_words_to_vec(my_vocab_list, ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'])
classify_nb(vec_to_classify=vec_to_classify, p_0_vect=p_0_vect, p_1_vect=p_1_vect, p_class=p_abusive)
完整代码sklearn实现：
import numpy as np
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
def load_data_set():
"""
获取数据集
:return:
"""
posting_list = [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
class_vec = [0, 1, 0, 1, 0, 1] # 1:代表侮辱性言论， 0:代表正常言论
return posting_list, class_vec
def create_vecab_list(data_set):
"""
创建一个包含在所有文档中出现且不重复的词汇表
:param data_set: 待处理文本数据集
:return: 不重复词汇列表
"""
vocab_set = set([]) # 创建一个空集
for i in data_set:
vocab_set = vocab_set | set(i)
return list(vocab_set)
def set_of_words_to_vec(vocab_list,input_set):
"""
将目标文档转换成向量：词集模型
:param vocab_list:词汇表
:param input_set:待处理文档
:return:转换后的文档向量
"""
return_vec = [0] * len(vocab_list) # 创建一个所含元素都为0的列表
for word in input_set:
if word in vocab_list:
return_vec[vocab_list.index(word)] = 1
return return_vec
def classify_nb():
"""
分类器
:return:
"""
list_posts, list_classes = load_data_set() # 获取样本[特征，分类]
my_vocab_list = create_vecab_list(list_posts)
training_data_set = []
for post_doc in list_posts:
training_data_set.append(set_of_words_to_vec(my_vocab_list, post_doc)) # 将文本转换成向量并做成训练集
clf = MultinomialNB().fit(training_data_set, list_classes)
test_data = [['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage']] #待判断言论
test_data_set = []
for i in test_data:
test_data_set.append(set_of_words_to_vec(my_vocab_list, i))
result = clf.predict(test_data_set)
print('言论类型为：{}'.format(result))
if __name__ == '__main__':
classify_nb()
四 总结
朴素贝叶斯推断的一些优点：
- 生成式模型，通过计算概率来进行分类，可以用来处理多分类问题。
- 对小规模的数据表现很好，适合多分类任务，适合增量式训练，算法也比较简单。
朴素贝叶斯推断的一些缺点：
- 对输入数据的表达形式很敏感。
- 由于朴素贝叶斯的“朴素”特点，所以会带来一些准确率上的损失。
- 需要计算先验概率，分类决策存在错误率。