TopCoder SRM 582 Div 1

首先我们可以把答案差分,那么我们只需要求出(1)~(x)范围内的满足条件的数即可.

题目要求的应该是这个东西的个数:

(l leq a*b^c leq r(1 le a < b)​)的个数

我们首先对于问题仔细分析一波,发现(c>3)显然不需要考虑.

1. (c>3)且(c)是偶数.

显然(a*b^{2k}=a*({b^k})^2),显然如果(a<b)那么(a<b^k(k>1))

2. (c>3)且(c)是奇数.

显然(a*b^{2k+1}=(a*b)*({b^k})^2),显然如果(a<b)那么(a<b^{k-1}(k>1))

所以现在我们成功把题目转换成了两种情况:(c=2)|(c=3)

单独计算(c=2)和(c=3)都十分的简单,但是极其有可能有这样子的情况:

(a*x^2=b*y^3)

这个时候我们就需要排除这种情况.

不妨先把(a*x^2)算出来,那么只需要计算满足(b*y^3)且(a ge x)

(a*x^2)显然只需要枚举(i in [1,sqrt[3]{x}])然后就是(sqrt{x/i}-i),因为要排除掉(a ge x)的情况.

现在问题就在于如何统计(b*y^3 leq x)且(a*x^2(a ge x))

我们推一波式子:

下面是手写稿,主要是不想写(LaTeX)了.

/*
  mail: mleautomaton@foxmail.com
  author: MLEAutoMaton
  This Code is made by MLEAutoMaton
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=430890,N=16820;
class SemiPerfectPower{
public:
	vector<int>son[M],sum[N];
	int mu[M],thr_out[M];
	int pfg(long long x){
		int l=0,r=3e8,ret=0;
		while(l<=r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(1ll*mid*mid<=x){ret=mid;l=mid+1;}
			else r=mid-1;
		}
		return ret;
	}
	int lfg(long long x){
		int l=0,r=M,ret=0;
		while(l<=r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(1ll*mid*mid*mid<=x){ret=mid;l=mid+1;}
			else r=mid-1;
		}
		return ret;
	}
	long long solve(long long x){
		long long ans=0;
		for(int i=1;1ll*i*i*i<=x;i++)if(mu[i])ans+=pfg(x/i)-i;
		for(int i=1;1ll*i*i*i*i<=x;i++)
			if(!thr_out[i])
				for(int j=1;j*j*j<=i;j++){
					int d=__gcd(j*j,i);
					if(!mu[i/d])continue;
					int k=j*j/d,l=i/k,r=lfg(x/i)/k;
					for(int u:son[i/d])ans+=mu[u]*(sum[u][r/u]-sum[u][l/u]);
				}
		return ans;							   
	}
	long long count(long long l,long long r){
		mu[1]=1;
		for(int i=1;i<M;i++)if(mu[i])for(int j=i<<1;j<M;j+=i)mu[j]-=mu[i];
		for(int i=1;i<M;i++)if(mu[i])for(int j=i;j<M;j+=i)if(mu[j])son[j].push_back(i);
		for(int i=2;i*i*i<M;i++)for(int j=i*i*i;j<M;j+=i*i*i)thr_out[j]=1; 
		for(int i=1;i<N;i++){
			sum[i].resize(M/i+1);
			sum[i][0]=0;
			for(int j=1;j<M/i+1;j++)
				sum[i][j]=sum[i][j-1]+(mu[i*j]!=0);
		}
		return solve(r)-solve(l-1);
	}
};