第三次作业

1、 参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100

  5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

            

解：由题意可得：字符集{a1,a2,a3} ， 其中p(a₁)=0.2 ,p(a₂)=0.3  ,p(a₃)=0.5

 则X(a_i)=i,       X(a₁)=1，X(a₂)=2，X(a₃)=3

F_X(0)=0，F_X(1)=0.2 ,F_X(2)=0.5  ,F_X(3)=1.0, U⁽⁰⁾=1 ,L⁽⁰⁾=0

 由公式知，下界：L⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n-1)

               上界：U⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n)

 首次 出现a1时：

        L⁽¹⁾=L⁽⁰⁾+(U⁽⁰⁾-L⁽⁰⁾)F_x(0)=0

       U⁽¹⁾=L⁽⁰⁾+(U⁽⁰⁾-L⁽⁰⁾)F_x(1)=0.2

第二次出现a1时：         

      L⁽²⁾=L⁽¹⁾+(U⁽¹⁾-L⁽¹⁾)F_x(0)=0

         U⁽²⁾=L⁽¹⁾⁺(U⁽¹⁾-L⁽¹⁾)F_x(1)=0.04

第三次出现a3时：

      L⁽³⁾=L⁽²⁾+(U⁽²⁾-L⁽²⁾)F_x(2)=0.02

     U⁽³⁾=L⁽²⁾+(U⁽²⁾-L⁽²⁾)F_x(3)=0.04

第四次出现a2时：

  L⁽⁴⁾=L⁽³⁾+(U⁽³⁾-L⁽³⁾)F_x(1)=0.024

 U⁽⁴⁾=L⁽³⁾+(U⁽³⁾-L⁽³⁾)F_x(2)=0.03

第五次出现a3时：

 L⁽⁵⁾=L⁽⁴⁾+(U⁽⁴⁾-L⁽⁴⁾)F_x(2)=0.027

  U⁽⁵⁾=L⁽⁴⁾+(U⁽⁴⁾-L⁽⁴⁾)F_x(3)=0.03

最后一次出现a1时：

   L⁽⁶⁾=L⁽⁵⁾+(U⁽⁵⁾-L⁽⁵⁾)F_x(0)=0.027

    U⁽⁶⁾=L⁽⁵⁾+(U⁽⁵⁾-L⁽⁵⁾)F_x(1)=0.0276

综上所述可得序列a1a1a3a2a3a1的实值标签：T(113231)=(L⁽⁶⁾⁺ U⁽⁶⁾)/2=0.0273

 6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解：由题意可知：对于标签为0.63215699长度为10的序列进行解码过程如下：

 由公式知，下界：L⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n-1)

               上界：U⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n)

首先设L⁽⁰⁾=0，U⁽⁰⁾=1  则

^L(1)=0+(1-0)F_x(x₁-1)=F_x(x₁-1)

U⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁)=F_x(x₁) 

假设x₁=1，则区间为[0,0.2)

假设x₁=2，则区间为[0.2,0.5)

假设x₁=3，则区间为[0.5,1)

由于0.63215699在[0.5,1)中，因此取x₁=3

L⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂-1)=0.5+0.5F_x(x₂-1)

U⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂)=0.5+0.5F_x(x₂)

假设x₂=1，则区间为[0.5,0.6)

假设x₂=2，则区间为[0.6,0.75)

假设x₂=3，则区间为[0.75,1)

由于0.63215699在[0.6,0.75)中，因此取x₂=2 

同理，x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10也是这样：

L⁽³⁾=0.6+(0.75-0.6)F_x(x₃-1)=0.6+0.15F_x(x₃-1)

U⁽³⁾=0.6+(0.75-0.6)F_x(x₃)=0.6+0.15F_x(x₃)

假设x₃=1，则区间为[0.6,0.63)

假设x₃=2，则区间为[0.63,0.675)

假设x₃=3，则区间为[0.675,0.75)

由于0.63215699在[0.63,0.675)中，因此取x₃=2

L⁽⁴⁾=0.63+(0.675-0.63)F_x(x₄-1)=0.63+0.045F_x(x₄-1)

U⁽⁴⁾=0.625+(0.675-0.3)F_x(x₄)=0.63+0.045F_x(x₄)

假设x₄=1，则区间为[0.63,0.639)

假设x₄=2，则区间为[0.639,0.6525)

假设x₄=3，则区间为[0.6525,0.675)

由于0.63215699在[0.63,0.639)中，因此取x₄=1

L⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅-1)=0.63+0.009F_x(x₅-1)

U⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅)=0.63+0.009F_x(x₅)

假设x₅=1，则区间为[0.63,0.6318)

假设x₅=2，则区间为[0.6318,0.6345)

假设x₅=3，则区间为[0.6345,0.639)

由于0.63215699在[0.6318,0.6345)中，因此取x₅=2

L⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆-1)=0.6318+0.0027F_x(x₆-1)

U⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆)=0.6318+0.0027F_x(x₆)

假设x₆=1，则区间为[0.6318,0.63234)

假设x₆=2，则区间为[0.63234,0.63315)

假设x₆=3，则区间为[0.63315,0.6345)

由于0.63215699在[0.6318,0.63234)中，因此取x₆=1

L⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇-1)=0.6318+0.00054F_x(x₇-1)

U⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇)=0.6318+0.00054F_x(x₇)

假设x₇=1，则区间为[0.6318,0.631908)

假设x₇=2，则区间为[0.631908,0.63207)

假设x₇=3，则区间为[0.63207,0.63234)

由于0.63215699在[0.63207,0.63234)中，因此取x₇=3。

L⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈-1)=0.63207+0.00027F_x(x₈-1)

U⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈)=0.63207+0.00027F_x(x₈)

假设x₈=1，则区间为[0.63207,0.632124)

假设x₈=2，则区间为[0.632124,0.632205)

假设x₈=3，则区间为[0.632205,0.63234)

由于0.63215699在[0.632124,0.632205)中，因此取x₈=2

L⁽⁹⁾=0.632124+(0.632205-0.632085)F_x(x₉-1)=632124+0.0000243F_x(x₉-1)

U⁽⁹⁾=632124+(0.632205-0.632085)F_x(x₉)=632124+0.0000243F_x(x₉)

假设x₉=1，则区间为[0.632124,0.6321402)

假设x₉=2，则区间为[0.6321402,0.6321645)

假设x₉=3，则区间为[0.6321645,0.632205)

由于0.63215699在[0.6321402,0.6321645)中，因此取x₉=2

L⁽¹⁰⁾=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)F_x(x₁₀-1)=0.6321402+0.0000243F_x(x₁₀-1)

U⁽¹⁰⁾=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)F_x(x₁₀)=0.6321402+0.0000243F_x(x₁₀)

假设x₁₀=1，则区间为[0.6321402,0.63214506)

假设x₁₀=2，则区间为[0.63214506,0.63215235)

假设x₁₀=3，则区间为[0.63215235,0.6321645)

由于0.63215699在[0.63215235,0.6321645)中，因此取x₁₀=3

综上所述序列为3221213223即a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a₃