解编辑距离问题

编辑距离（Edit Distance），又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。

许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

例如将kitten一字转成sitting：

sitten （k→s）

sittin （e→i）

sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。应用：DNA分析、拼字检查、语音辨识、抄袭侦测、相似度计算。

 

动态规划经常被用来作为这个问题的解决手段之一。

整数 Levenshtein距离(字符串 str1[1..m], 字符串 str2[1..n])

//声明变量， d[i , j]用于记录str1[0...i]与str2[0..j]的Levenshtein距离

int d[0..m, 0..n]

//初始化

for i from 0 to m

　　d[i, 0] := i //删除i个字符

for j from 0 to n

　　d[0, j] := j //插入j个字符

//用动态规划方法计算Levenshtein距离

for i from 1 to m

{

　　for j from 1 to n

　　{

　　　　//计算替换操作的代价，如果两个字符相同，则替换操作代价为0，否则为1

　　　　if str1[i]== str2[j] then cost := 0

　　　　else cost := 1

　　　　//d[i,j]的Levenshtein距离，可以有

　　　　d[i, j] := minimum{

　　　　d[i-1, j] + 1, //在str1上i位置删除字符（或者在str2上j-1位置插入字符）

　　　　d[i, j-1] + 1, //在str1上i-1位置插入字符（或者在str2上j位置删除字符）

　　　　d[i-1, j-1] + cost // 替换操作

　　　　}

　　} 

}

//返回d[m, n]

return d[m, n]

 

 

      这篇我们看看最长公共子序列的另一个版本，求字符串相似度(编辑距离)，我也说过了，这是一个非常实用的算法，在DNA对比，网

页聚类等方面都有用武之地。

一：概念

     对于两个字符串A和B，通过基本的增删改将字符串A改成B，或者将B改成A，在改变的过程中我们使用的最少步骤称之为“编辑距离”。

比如如下的字符串：我们通过种种操作，痉挛之后编辑距离为3，不知道你看出来了没有？

二：解析

  可能大家觉得有点复杂，不好理解，我们试着把这个大问题拆分掉，将"字符串 vs 字符串“，分解成”字符 vs 字符串“，再分解

成”字符 vs 字符“。

<1> ”字符“vs”字符“

       这种情况是最简单的了，比如”A“与”B“的编辑距离很显然是1。

<2> ”字符”vs"字符串"

       ”A“改成”AB“的编辑距离为1，“A”与“ABA”的编辑距离为2。

<3>“字符串”vs“字符串”

      “ABA”和“BBA”的编辑距离为1，仔细发现我们可以得出如下结论，”ABA“是由2³个子序列与”BBA“字符串求的的编辑距离集

合中取出的最小编辑距离，也就是说在这种情况下我们出现了重复计算的问题，我在求子序列”AB“和”BBA"的编辑距离时，我是由

子序列”A“和”BBA“与”B“和”BBA“之间的编辑距离中选出一个最小值，然而序列A和序列B早之前我已经计算过了，这种重复计算

的问题有点像”斐波那契”，正好满足“动态规划”中的最优子结构和重叠子问题，所以我们决定采用动态规划来解决。

三：公式

    跟“最长公共子序列”一样，我们采用一个二维数组来保存字符串X和Y当前的位置的最小编辑距离。

现有两个序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

设一个C[i,j]: 保存X_i与Y_j的当前最小的LD。

①： 当 X_i = Y_i 时，则C[i,j]=C[i-1,j-1]；

②：当 X_i != Y_i 时， 则C[i,j]=Min{C[i-1,j-1],C[i-1,j],C[i,j-1]}；

最终我们的C[i,j]一直保存着最小的LD。

四：代码

 1 using System;
 2 
 3 namespace ConsoleApplication2
 4 {
 5     public class Program
 6     {
 7         static int[,] martix;
 8 
 9         static string str1 = string.Empty;
10 
11         static string str2 = string.Empty;
12 
13         static void Main(string[] args)
14         {
15             while (true)
16             {
17                 str1 = Console.ReadLine();
18 
19                 str2 = Console.ReadLine();
20 
21                 martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
22 
23                 Console.WriteLine("字符串 {0} 和 {1} 的编辑距离为:{2}
", str1, str2, LD());
24             }
25         }
26 
27         /// <summary>
28         /// 计算字符串的编辑距离
29         /// </summary>
30         /// <returns></returns>
31         public static int LD()
32         {
33             //初始化边界值(忽略计算时的边界情况)
34             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
35             {
36                 martix[i, 0] = i;
37             }
38 
39             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
40             {
41                 martix[0, j] = j;
42             }
43 
44             //矩阵的 X 坐标
45             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
46             {
47                 //矩阵的 Y 坐标
48                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
49                 {
50                     //相等情况
51                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
52                     {
53                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1];
54                     }
55                     else
56                     {
57                         //取“左前方”，“上方”，“左方“的最小值
58                         var temp1 = Math.Min(martix[i - 1, j], martix[i, j - 1]);
59 
60                         //获取最小值
61                         var min = Math.Min(temp1, martix[i - 1, j - 1]);
62 
63                         martix[i, j] = min + 1;
64                     }
65                 }
66             }
67 
68             //返回字符串的编辑距离
69             return martix[str1.Length, str2.Length];
70         }
71     }
72 }