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  • 最长公共子序列LCS

    LCS:给出两个序列S1和S2,求出的这两个序列的最大公共部分S3就是就是S1和S2的最长公共子序列了。公共部分

    必须是以相同的顺序出现,但是不必要是连续的。

    LCS具有最优子结构,且满足重叠子问题的性质。所以我们可以用动态规划来解决LCS问题。

    由LCS问题的最优子结构可得出递归式:

    长度的问题我们已经解决了,这次要解决输出最长子序列的问题,

    我们采用一个标记函数Flag[i,j],当

    ①:C[i,j]=C[i-1,j-1]+1  时 标记Flag[i,j]="left_up";    (左上方箭头)

    ②:C[i-1,j]>=C[i,j-1]   时 标记Flag[i,j]="left";          (左箭头)

    ③: C[i-1,j]<C[i,j-1]     时 标记Flag[i,j]="up";            (上箭头)

    例如:我输入两个序列X=acgbfhk,Y=cegefkh。

    复制代码
     1 using System;
     2 
     3 namespace ConsoleApplication2
     4 {
     5     public class Program
     6     {
     7         static int[,] martix;
     8 
     9         static string[,] flag;
    10 
    11         static string str1 = "acgbfhk";
    12 
    13         static string str2 = "cegefkh";
    14 
    15         static void Main(string[] args)
    16         {
    17             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
    18 
    19             flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
    20 
    21             LCS(str1, str2);
    22 
    23             //打印子序列
    24             SubSequence(str1.Length, str2.Length);
    25 
    26             Console.Read();
    27         }
    28 
    29         static void LCS(string str1, string str2)
    30         {
    31             //初始化边界,过滤掉0的情况
    32             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
    33                 martix[i, 0] = 0;
    34 
    35             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
    36                 martix[0, j] = 0;
    37 
    38             //填充矩阵
    39             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
    40             {
    41                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
    42                 {
    43                     //相等的情况
    44                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
    45                     {
    46                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
    47                         flag[i, j] = "left_up";
    48                     }
    49                     else
    50                     {
    51                         //比较“左边”和“上边“,根据其max来填充
    52                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
    53                         {
    54                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
    55                             flag[i, j] = "left";
    56                         }
    57                         else
    58                         {
    59                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
    60                             flag[i, j] = "up";
    61                         }
    62                     }
    63                 }
    64             }
    65         }
    66 
    67         static void SubSequence(int i, int j)
    68         {
    69             if (i == 0 || j == 0)
    70                 return;
    71 
    72             if (flag[i, j] == "left_up")
    73             {
    74                 Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:({1},{2})", str2[j - 1], i - 1, j - 1);
    75 
    76                 //左前方
    77                 SubSequence(i - 1, j - 1);
    78             }
    79             else
    80             {
    81                 if (flag[i, j] == "up")
    82                 {
    83                     SubSequence(i, j - 1);
    84                 }
    85                 else
    86                 {
    87                     SubSequence(i - 1, j);
    88                 }
    89             }
    90         }
    91     }
    92 }
    复制代码

    由于直接绘图很麻烦,嘿嘿,我就用手机拍了张:

    好,我们再输入两个字符串:

    1         static string str1 = "abcbdab";
    2 
    3         static string str2 = "bdcaba";

    通过上面的两张图,我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。

    时间复杂度:构建矩阵我们花费了O(MN)的时间,回溯时我们花费了O(M+N)的时间,两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。

    空间复杂度:构建矩阵我们花费了O(MN)的空间,标记函数也花费了O(MN)的空间,两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。

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