整数划分问题

整数划分问题：

将一个正整数n表示成一系列正整数之和，n=n[1]+n[2]+...+n[k]，其中n[1]>=n[2]>=...>=n[k]>=1,k>=1。正整数n的一个这种表示称为n的一个划分。求n的不同划分个数。  

用递归算法求解：

（1）递归子结构性质：

显然n的一个划分中包含了某个子问题t(<n)的一个划分。这里问题的解是划分数，关键是要研究用子问题的划分数来定义原问题的划分数。在n的所有不同划分中，将其中最大加数n[1]不大于m的划分数个记作q(n,m)，则q(n,n)为原问题的解。递归定义如下：  

1）当n<1或m<1时，显然q(n,m)=0；  

2）当m=1时，n只有一种划分形式，n=1+1+...+1，共n个1相加。q(n,1)=1；  

3）当n=1时，显然也只有一种划分形式，q(1,m)=1；  

4）当n<m时，因为n[1]不能大于n，故q(n,m)=q(n,n)；  

5）当n=m时，q(n,n)为n的所有划分个数，它由n[1]<=n-1的划分和n[1]=n的划分（只有一个）组成，q(n,n)=q(n,n-1)+1；  

6）当n>m>1时，n[1]不大于m的划分，由n[1]<=m-1的划分和n[1]=m的划分（相当于将剩下的n-m划分成不大于m的划分）组成，q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)。  

（2）递归终止条件：

上述1），2），3）即为递归的终止条件。

在分析递归终止条件时特别注意要使所有的子问题都能递归终止，否则如果某个子问题不能递归终止，会导致无穷的递归调用。

int q(int n,int m){ if((n<1) || (m<1)) return 0; if((n==1) || (m==1)) return 1; if(n<m) return q(n,n); if(n==m) return q(n,m-1)+1; return q(n,m-1)+q(n-m,m); }

int q(int n,int m){
    if((n<1) || (m<1))  return 0;
    if((n==1) || (m==1))  return 1;
    if(n<m)  return q(n,n);
    if(n==m)   return q(n,m-1)+1;
    return q(n,m-1)+q(n-m,m);    
}

递归算法结构简洁清晰，可读性强，但运行时间和占用的存储空间一般都比非递归算法要多。系统是通过栈结构来完成递归的展开，因此若要把递归算法转化为非递归算法，通常是采用一个用户定义的栈来模拟系统的调用工作栈，以达到消除递归的目的。