排序算法 —— 基于比较的排序算法稳定性及其汇总

前言

我们在之前的排序算法文章中，介绍了六种基于比较的排序算法：选择排序、冒泡排序、插入排序、归并排序、快速排序和堆排序，现在我们来总结一下每个算法对应的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性

排序比较图

1. 稳定性

稳定性的意思就是对于两个值相等的元素，在排完序后，它们的相对位置没有发生改变，这样的算法就是稳定的

我们先说说为什么要研究算法的稳定性：对于简单类型的比较，譬如比较数组中的数，那么每个数值都是等效的，稳定性就没有什么用；不过对于复杂类型，稳定性就很有用了。举个栗子：比如一群学生，他们有两个属性，一个是成绩，一个是班级，我想先按照他们的成绩进行降序排序，之后再根据班级进行升序排序；那么排完成绩后，我们再根据班级进行排序时，如果排序算法是不稳定的，会导致之前排好的成绩可能会因为班级排序而打乱；而对于稳定的排序算法，同一个班级的数据的相对位置就不会发生改变，也就不会影响到之前已经排好的成绩顺序

讲完了稳定性的用处后，我们再来逐个分析一下上述六大排序的稳定性

1. 对于选择排序，它是不稳定的排序，举例如下：

   当找到数组中的最小值 2，并与数组第一个元素进行交换后，两个数字 3 的相对顺序就发生了改变，因此选择排序是不稳定的排序

2. 对于冒泡排序，它是稳定的排序，因为当冒泡的元素只有遇到比它小的元素时，它才交换位置；遇到相同元素时并不交换位置，所以不会改变相同元素之间的相对位置

3. 对于插入排序，它是稳定的排序，因为插入的元素只有遇到比它大的元素时，它才会继续往前比较，直到找到合适的插入位置；遇到相同元素时，它就停止了比较，所以不会改变相同元素之间的相对位置

4. 对于归并排序，它是稳定的排序，我们回想一下归并排序里的归并过程，当左右指针所指的元素相同时，左指针所指的数先放入数组中，所以不会改变它们的相对位置，所以归并排序也是稳定的排序（之前我们讲归并排序的应用时提到了小和问题，小和问题中当左右指针所指的元素相同时，是右指针所指的数先放入数组，所以小和问题中的排序并不是稳定的排序）

5. 对于快速排序，它是不稳定的排序，举例如下：

   如下所示的排序过程中，若 5 为基准元素，左边为小于 5 的元素，右边为大于 5 的元素，那么当指针 i 指向第三个元素时，因为 6 比基准值 5 大，因此 6 与 5 要交换位置，两个数字 6 的相对位置就发生了改变，因此快速排序是不稳定的排序

   

6. 对于堆排序，它是不稳定的排序，因为堆排序使用了堆这个数据结构，它在比较的时候只和自己的父结点或孩子结点进行比较，压根不关心稳定性的问题，不过为了理解，我们还是举个栗子，沿用之前介绍堆排序稳定性使用的栗子

对于这样的大根堆，如果我们使堆上浮，去掉里面最大的元素，那么最后一个元素 3 就会跑到根结点的位置，于是两个 3 的相对位置就发生了变化，因此堆排序是不稳定的排序

根据以上的分析，我们得出一个结论：

不具备稳定性的排序有选择排序、快速排序和堆排序；它们的特点是元素交换时会进行跳跃，这种跳跃交换就很可能导致相对位置发生变化

有稳定性的排序有冒泡排序、插入排序、归并排序（tips: 计数排序和基数排序这两个不基于比较的排序也是稳定的排序）

2. 时间复杂度和空间复杂度

我们现在来分析一下他们的时间复杂度和空间复杂度

1. 选择排序算是里面最 low 的一个了，它的时间复杂度为 O(N²)这样高的级别，却还不能保证稳定性

2. 现在我们来看看下面这三个排序

   

• 对于归并排序、快排以及堆排序，它们的时间复杂度均为 O(NlogN)，但是经实验表明，从常数时间来讲，快排的速度是最快的，所以我们优先选择快排（面试和笔试中快排应该也是最常考的）
• 如果你遇到空间不够用，或者不能使用额外空间的情况，那就可以用堆排序；如果你需要稳定的排序算法，那就可以使用归并排序

3. 目前还没有找到时间复杂度小于 O(NlogN) 的排序算法

4. 目前还没有发现时间复杂度为 O(NlogN)，空间复杂度在 O(N) 以下，同时又有稳定性的算法

5. 所以我们选择排序算法时，不可能时间复杂度、空间复杂度、稳定性三者好处都占完，目前还没找到这样的算法，我们只能根据我们的实际情况选择要么最快、要么额外空间使用最少、要么稳定的算法

6. 工程上对排序的改进：我们可能在某些快排的代码中，看到这一段代码

   if(l > r - 60) {
       // 在 arr[l...r] 插入排序
       // O(N²) 小样本量的时候跑得快
       return;
   }
   

   这正是一种综合排序，充分利用了 O(NlogN) 和 O(N²) 各自的优势，对于小样本而言，虽然时间复杂度是 O(N²)，但是它此时是常数时间，瓶颈并不明显；这样它就能在大样本中运用快排的时间复杂度优势，小样本中利用插入排序常数时间低的优势

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