试题 历届试题 包子凑数(gcd、dp)

问题描述

　　小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。


　　每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。


　　当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。


　　小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入格式

　　第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出格式

　　一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

样例输入

2
4
5

样例输出

6

样例输入

2
4
6

样例输出

INF

样例说明

　　对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
　　对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

思路

题意是给出N个笼子，笼子间有不同的包子数量，问凑不出来的数字有多少个，如果无限个输出inf。

我们先考虑无限个的情况，由数学知识知道，如果一组数的最大公因数不是1，那么凑出来的数只能是最大公因数的倍数，所以是无限个的情况。

1-100中最大的互质数是100、99，由这两个数可以来决定凑不出的最大数是什么，

我们知道用少一个100可以使凑出的数尾数减一，也就是99，100，198，199，200，297，298，299，300，396，397.....9901，

所以最大的一个凑不来的数是9801，我们可以把规模定为10000。

我们求一下一组数的gcd。

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)return a;
     gcd(b, a % b);
}

    int g = 0;
    g=gcd(a[0], a[1]);
    for (int i = 2;i < n ;i++) {
        g = gcd(g, a[i]);
    }
    if (g != 1)cout << "INF" << endl;

接下来是算出能凑出来的数字有哪些，用动态规划，初始化dp[0]=1，表示0可以凑出。

然后列出状态转移方程，这里的第二个循环判断条件记得是j+a[i]<maxn，而不是j<maxn,不然会wa。

        for (int i = 0;i < n;i++) {
            for (int j = 0;j+a[i] < maxn;j++) {
                if (dp[j])dp[j + a[i]] = 1;
            }
        }

100分代码如下:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector> 
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)return a;
     gcd(b, a % b);
}
int main()
{
    int n;cin >> n;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0;i < n;i++)cin >> a[i];
    dp[0] = 1;
    int g = 0;
    g=gcd(a[0], a[1]);
    for (int i = 2;i < n ;i++) {
        g = gcd(g, a[i]);
    }
    if (g != 1)cout << "INF" << endl;
    else {
        for (int i = 0;i < n;i++) {
            for (int j = 0;j+a[i] < maxn;j++) {
                if (dp[j])dp[j + a[i]] = 1;
            }
        }
        int num = 0;
        for (int i = 0;i < maxn;i++) {
            if (dp[i] != 1)num++;
        }
        cout << num << endl;
    }
    return 0;
}