[一本通学习笔记] 二分与三分

摘要

本节主要关于二分与三分的问题，二分与三分时我们通常会区分整数和浮点而做不同的处理。

整数二分

最经典的一类，我们通常这样写

int L=... , R = ...;
while(R>L) {
    ...
    if(...) L=mid+1;
    else R=mid;
}
cout<<L (-1) <<endl;

需要注意的是在这里最终答案是否-1取决于L=mid+1这一切换进行时，mid是否为合法解。如果是，那么-1. 如果不是，就输出L。

当然还存在一些别的写法，比如将判断条件改为R>=L，切换语句写作L=mid+1,r=mid-1，同时记录最后一次合法的Ans。弄清楚一种即可。

浮点数二分

浮点类二分非常容易，只需要注意控制精度误差即可。

浮点数三分

三分法通常用于找凸函数极值（虽然理论上对导函数二分也挺好），这时候需要用到两个mid值，即m1和m2，分别对应区间[l,r]的两个三等分点，计算出两个三等分点，然后根据需要将左端点缩到左三等分点，或者右端点缩到右三等分点，这样来进行转移即可。在浮点数情况下实现是很容易的。

整数三分

有时候我们需要对整数三分，就需要注意一下取整误差的问题，提供参考写法如下。

int l=..., r=...;
while(r>l){
    int m1=(2*l+r)/3, m2=(2*r+l+2)/3;
    if(...) r=m2-1;
    else l=m1+1;
}
cout<<l<<endl;

二分答案+验证

如果问题的答案与决定性参变量的函数关系是非严格单调的，我们就可以用二分来将它转化为若干判定性问题，这在处理很多问题时是非常有效的。

二分套二分/三分套三分

当决定性参变量有多个，并且函数对每个参变量的偏导数都是恒非正或恒非负的时候，我们既可以用二分套二分来解决问题。即对f(x,y)，我们先二分一个x，将它转化为f(x,y)=g(y)，然后求出g(y)的答案，就得到了f(x,y)在这个x上的答案。

LOJ10011. 「一本通 1.2 例 1」愤怒的牛

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[1000005];
int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int l=0,r=1e+9;
    while(r>l) {
        int mid = (l+r)/2;
        int las = -1e+9, cnt = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(a[i]-las >= mid)
                ++cnt, las = a[i];
        if(cnt>=m) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    cout<<l-1<<endl;
}

LOJ10012. 「一本通 1.2 例 2」Best Cow Fences

这里涉及到二分答案的一个常用技巧，即对分数形式，比如这里的ans = (sum(...))/(sum(1))，我们二分一个ans，那么不等式ans > (sum(...))/(sum(1))就可以转化为sum(a[i]-ans)>0，通过后缀最大值处理一下就可以了。

浮点数问题一定要注意补偿舍入误差。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,l,a[1000005];
double s[1000005];

int main() {
    cin>>n>>l;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    double L=0, R = 1e+9;
    while(R-L > 1e-6) {
        double mid = (L+R) / 2.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            s[i] = s[i-1] + a[i] - mid;
        int flag = 0;
        s[n+1] = -1e+19;
        for(int i=n-l;i>=0;--i)
            s[i+l] = max(s[i+l], s[i+l+1]),
            flag |= (s[i+l]-s[i]>-1e-6);
        if(flag) L=mid;
        else R=mid;
    }
    cout<<(int)(L*1000.0+0.005)<<endl;
}

#10013. 「一本通 1.2 例 3」曲线

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T,n;
double a[10005],b[10005],c[10005],t1,t2,t3;

double f(double x) {
    double ret = -1e+18;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ret = max(ret, a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]);
    return ret;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>T;
    while(T--) {
        cin>>n;
        double ans = -1e+18;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
        double l=0,r=1000;
        while(r-l > 1e-11) {
            double m1 = l + (r-l)/3.0, m2 = r - (r-l)/3.0;
            if(f(m1)>f(m2)) l=m1;
            else r=m2;
        }

        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<f(l)<<endl;
    }
}

#10014. 「一本通 1.2 练习 1」数列分段 II

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,a[1000005];

int main() {
    cin>>n>>m;
    int mx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i], mx=max(mx,a[i]);
    int l=mx,r=1e+9;
    while(r-l>0) {
        int mid = (l+r)/2;
        int sum = 0, cnt = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(sum+a[i]>mid) ++cnt,sum=0;
            sum+=a[i];
        }
        if(cnt<=m) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<l<<endl;
}

#10015. 「一本通 1.2 练习 2」扩散

二分答案后考虑如何检验，暴力枚举点对看是否直接相连，并查集维护连通性即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,x[100005],y[100005],f[105];

int find(int x) {
    return (f[x]==x)?x:(f[x]=find(f[x]));
}

int dis(int x1,int y1,int x2,int y2) {
    return abs(x1-x2) + abs(y1-y2);
}

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>y[i];
    int l=0,r=1e+9;
    while(r-l) {
        int mid = (l+r)/2, cnt = n;
        for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<i;j++)
                if(dis(x[i],y[i],x[j],y[j])<=2*mid)
                    if(find(i)!=find(j)) f[find(i)]=find(j), --cnt;
        if(cnt==1) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<l<<endl;
}

#10016. 「一本通 1.2 练习 3」灯泡

几何推公式

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T; double H,h,D;

double f(double x) {
    double ret = h/(H-h)*x;
    if(ret+x > D)
        ret = D - x + (ret+x - D) * (H-h) / x;
    return ret;
}

int main() {
    cin>>T;
    while(T--) {
        cin>>H>>h>>D;
        double L=0,R=D;
        while(R-L > 1e-8) {
            double m1 = L + (R-L)/3, m2 = R - (R-L)/3;
            if(f(m1)>f(m2)) R=m2;
            else L=m1;
        }
        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(3)<<f(L)<<endl;
    }
}

#10017. 「一本通 1.2 练习 4」传送带

三分套三分，设两个比例k,u。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,p,q,r;

double f(double x1,double y1,double x2,double y2) {
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}

double calc(double k,double u) {
    double x1=k*ax+(1-k)*bx, y1=k*ay+(1-k)*by;
    double x2=u*cx+(1-u)*dx, y2=u*cy+(1-u)*dy;
    return f(ax,ay,x1,y1)/p+f(x1,y1,x2,y2)/r+f(x2,y2,dx,dy)/q;
}

double inner(double m) {
    double L=0,R=1;
    while(R-L > 1e-8) {
        double m1=L+(R-L)/3, m2=R-(R-L)/3;
        if(calc(m,m1)<calc(m,m2)) R=m2;
        else L=m1;
    }
    return calc(m,L);
}

int main() {
    cin>>ax>>ay>>bx>>by>>cx>>cy>>dx>>dy>>p>>q>>r;
    double L=0,R=1;
    while(R-L > 1e-8) {
        double m1=L+(R-L)/3, m2=R-(R-L)/3;
        if(inner(m1)<inner(m2)) R=m2;
        else L=m1;
    }
    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<inner(L)<<endl;
}

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
double ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,p,q,r;
double f(double x1,double y1,double x2,double y2) {    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));}
double calc(double k,double u) {    double x1=k*ax+(1-k)*bx, y1=k*ay+(1-k)*by;    double x2=u*cx+(1-u)*dx, y2=u*cy+(1-u)*dy;    return f(ax,ay,x1,y1)/p+f(x1,y1,x2,y2)/r+f(x2,y2,dx,dy)/q;}
double inner(double m) {    double L=0,R=1;    while(R-L > 1e-8) {        double m1=L+(R-L)/3, m2=R-(R-L)/3;        if(calc(m,m1)<calc(m,m2)) R=m2;        else L=m1;    }    return calc(m,L);}
int main() {    cin>>ax>>ay>>bx>>by>>cx>>cy>>dx>>dy>>p>>q>>r;    double L=0,R=1;    while(R-L > 1e-8) {        double m1=L+(R-L)/3, m2=R-(R-L)/3;        if(inner(m1)<inner(m2)) R=m2;        else L=m1;    }    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<inner(L)<<endl;}