Wannafly Winter Camp 2020 Day 6H 异或询问

给定一个长 (n) 的序列 (a_1,dots,a_n)，定义 (f(x)) 为有多少个 (a_i leq x)

有 (q) 次询问，每次给定 (l,r,x)，求 (sum_{i=l}^r f(i xor x)^2)

Solution

定义 (S*x={y xor x|y in S})，((x)_i) 表示 (x) 第 (i) 位的值，则所求为 (sum_{yin[L,R]*x} f^2(y))，差分一下，只需要求 (sum_{yin[0,R]*x} f^2(y))

手玩一下可以想到， ([0,R]*x) 一定能被划分为 (O(log n)) 个连续的区间

考虑第 (w) 位

• 如果 (R<2^w)，若 ((x)_w=0) 则变为 ([0,R]*x')，若 ((x)_w=1) 则变为 ([2^w,2^w+R]*x')，其中(x'=x & (2^w-1))

• 如果 (Rgeq 2^w)，若 ((x)_w=0) 则变为 ([0,2^w-1] + [2^w,R]*x')，后者递归下去即可；若 ((x)_w=1) 则变为 ([2^w,2^{w+1}-1] + [0,R-2^w]*x')，后者同样递归做下去

如果我们能快速完成这种划分，那么问题转化为求 (g(R)=sum_{xleq R} f^2(x))，考虑到这个函数是个分段线性函数，不妨假设 (a_i) 已经排序，我们只需要预处理出序列 (g(a_1),g(a_2),dots, g(a_n))，那么询问时拿着 (R) 在 (a) 序列上二分一下，就可以很容易算出答案。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 100005;
const int mod = 998244353;

struct range{int l,r;};

vector<range> xorrange(int r,int x) {
    vector <range> v;
    v.push_back({r^x,r^x});
    int offset=0;
    for(int i=30;i>=0;--i) {
        if(r<(1<<i)) {
            if(x&(1<<i)) {
                offset+=(1<<i);
            }
        }
        else {
            if(x&(1<<i)) {
                v.push_back({(1<<i)+offset,(1<<(i+1))-1+offset});
                r^=(1<<i);
            }
            else {
                v.push_back({offset,(1<<i)-1+offset});
                r^=(1<<i);
                offset+=(1<<i);
            }
        }
        x&=(1<<i)-1;
    }
    return v;
}

int n,q,a[N],f[N],g[N];

int calc(int x) {
    int p = upper_bound(a+1,a+n+1,x) - a-1;
    return (g[p] + (x-a[p])*p*p) % mod;
}

int gen(int p,int x) {
    vector<range> v=xorrange(p,x);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<v.size();i++) ans+=(calc(v[i].r)-calc(v[i].l-1)+mod)%mod,ans%=mod;
    return ans;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=(g[i-1]+(i-1)*(i-1)%mod*(a[i]-a[i-1]-1)+i*i)%mod;
    for(int i=1;i<=q;i++) {
        int l,r,x;
        cin>>l>>r>>x;
        cout<<(gen(r,x)-gen(l-1,x)+mod)%mod<<endl;
    }
}