闲话
这场做的时候完全心不在焉，导致做了三题就跑路看电影去了（大雾）……晚上做东西意志力真的很差
第二天补了好久才补完，F 题虽然难度不大但是卡了很久，看来这种类似 [HAOI2012] 高速公路 的题目还是做得不熟练
D 题反应出思维能力还是很欠缺
题解
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题意描述 |
题解 |
|---|---|
| A | 每个学生的分数最少为 (0)，所以我们只要把除了第 (1) 名学生之外的所有学生的分数全部给第 (1) 个学生就能使他的分数最大。 |
| B | 实质上就是整个字符串左移若干位，多出来的部分挪到右边，并根据奇偶翻转 |
| C 给定两个序列 (a,b)，保证每个序列中所有数字的 GCD 为 (1)，设 (a*b=c)，给定质数 (p)，求 (t) 使得 (c_t) 不能被 (p) 整除 | 要使 (c_i mod p
eq 0)，则 (a_0b_i, a_1b_{i-1}, dots, a_ib_0) 中至少有一项满足 (a_xb_y
eq 0 mod p)，这要求 (a_x,b_y
eq 0 mod p)，于是我们只需要按下标从小到大找到第一个 (a_i
eq 0, b_j
eq 0 mod p)，那么 (i+j) 就是答案 考虑充分性，设第一个不能被 (p) 整除的是 (a_i,b_j)，那么对于 (c_{i+j})，它的其它项中一定都含有 (p) 因子 |
| D 对一个 (n imes n) 的棋盘，每个格子上有一个字母，表示遇到这个格子就向着某个方向走或者停止。现在给定从每个位置开始会走到的位置，或者死循环，试构造一个合法的棋盘，或者输出 INVALID。 | 除去死循环的部分，终点相同的点会形成独立的联通块，我们从终点开始反向 DFS 即可 如果死循环是单独的一个点，则 INVALID 否则，我们强行构造出一个二元环，然后当做第一种情况做即可 |
| E 需要在 (n) 个人中选出 (p) 个人站着队伍中的各个位置上，再从剩下的 (n-p) 个人中选出 (k) 个人作为观众。第 (i) 个人作为观众可以有 (a_i) 的得分，作为队伍中第 (j) 个位置上的人可以有 (s_{i,j}) 的得分，求得分的最大值。(nleq 10^5, pleq 7) | 将人按照 (a) 从大到小排序，这样如果敲定了哪些人是队伍，那么剩下的靠前的 (k) 个一定是观众 考虑状压 DP，设 (f[i][j]) 表示考虑了前 (i) 个人，队伍中各个位置的状态为 (j) 的得分最大值，决策下一个人放在队伍的哪一个位置，或者不入队，如果不入队则判定如果 (i-popcount(j) leq k) 则去当观众 |
| F 定义一个 (n) 元序列 (p_i)，如果 (n=1)，则序列权值为 (0)，否则序列权值就是原序列排序后相邻两项乘积的和。现在等概率地选出一个子序列，问它的权值的期望是多少。支持动态单点修改。 | 对于静态情况，答案为 $$sum_{i=1}^n sum_{j=i+1}^n frac{p_i p_j}{2^{j-i+1}}$$ 考虑用线段树维护，对于区间 ([l,r])，我们设 (val) 为当前区间权值，(lv=sum_{i=l}^r p_i2^{i-l})，(rv=sum_{i=l}^r p_i/2^{i-l+1})，(sz) 是当前区间内数的个数，则 $$val=val_L+val_R+frac{1}{2} vl_Lvr_R/2^{sz_L} sz=sz_L+sz_R vl= vl_L+vl_R2^{sz_L} vr=vr_L+vr_R/2^{sz_L}$$ 对于单点 (a)，它的 (val=0, sz=1, vl=a, vr=a/2) 考虑到序列中有重复元素，我们先将所有元素（包括修改的）一起读进来排序，然后将原始的先激活，修改后的先不激活（(val=0,sz=0,vl=0,vr=0)），一起挂在线段树上 |
2020年3月11日