集合论基础学习笔记

本文将包含集合代数、二元关系、函数三部分。

集合代数

基本概念

把一些事物汇集到一起组成一个整体叫做集合，这些事物是集合的元素或成员。

集合通常用大写英文字母标记。

集合的表示

集合表示的两种方法：列举法（列出集合的所有元素）和谓词表示法（用谓词来概括集合中元素的属性）。

集合的基本性质：互异性（没有重复的元素），无序性。

关系

元素与集合间关系是隶属关系，即属于 (in) 或不属于 ( otin)。

两个集合间的关系：如果 (B) 中的每个元素都是 (A) 中的元素，则 (B) 是 (A) 的子集，称 (B) 被 (A) 包含，记做 (B subseteq A)，反之记做 (B subseteq A)。称 (A=B)，当且仅当 (Asubseteq B and B subseteq A)。如果 (Asubseteq B) 而 (A eq B)，则 (A) 是 (B) 的真子集， (A subset B)。

不含任何元素的集合称为空集，记做 (varnothing)，可以符号化地表示为 (varnothing = { x|x eq x})。

定义 (A) 的幂集 (P(A)={x|x subseteq A})，显然 (|P(A)|=2^{|A|})。

在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个元素的子集，则称这个集合为全集 (E)。

几个证明例题

空集是一切集合的子集，且空集是唯一的。

Proof. (varnothing subseteq A Leftrightarrow forall x (x in varnothing o x in A))，而 (x in varnothing) 为假，于是 (varnothing subseteq A)。设存在 (varnothing_1 eq varnothing_2)，而 (varnothing_1 subseteq varnothing_2) 且 (varnothing_2 subseteq varnothing_1)，故 (varnothing_1 = varnothing_2)，矛盾。

对于任意集合有 (Asubseteq A)。

Proof. (A subseteq A Leftrightarrow forall x (xin A o x in A))，显然为真。

对于任意集合有 (A otin A)。

Proof. 设 (P={A|Ain A},Q={A|A otin A})。对于任意的 (A)，((A in P) or (A in Q)) 为真，((A in P) and (A in Q)) 为假。考虑 (Q in P)，则 (Q in Q)，矛盾。考虑 (Q in Q)，则 (Q in P)，矛盾。于是 (Qin P) 与 (Q in Q) 均为假，矛盾。

集合的运算

几个基本运算：并、交、相对补集、对称差集、补集

为了处理以集合为元素的集合中各个元素集合的并集，定义 (A) 的广义并为 (igcup A = { x| exists z (z in A and x in z)})，即如果 (A={A_1,A_2,dots,A_n})，那么 (igcup A = igcup_{i=1}^n A_i)。例如 (igcup { { a,b,c }, {d,e,f} , A}) (={a,b,c,d,e,f} igcup A)。类似地可以定义广义交。需要注意 (igcap varnothing) 没有意义。

集合运算的顺序

所有一元运算先于二元运算。一元运算从右向左顺序执行。二元运算由括号决定运算顺序。

有穷集合的计数

利用 Venn 图计数

利用已知条件将对应的 Venn 图画出来，在没有特殊说明的情况下，任意两个集合都应设为相交。然后将集合的元素数填入区域内，数字未知可以设为未知量。最后解方程组得到结果。

容斥原理

容斥原理描述了如何对多个集合的交或并进行计数

[midigcuplimits_{i=1}^{n}S_imid=sumlimits_{i=1}^{n}mid S_imid-sumlimits_{1leq i<jleq n}mid S_icap S_jmid+sumlimits_{1leq i<j<kleq n}mid S_icap S_jcap S_kmid+...+(-1)^{n+1}mid S_1cap S_2cap...cap S_kmid​ ]

例：求欧拉函数，求错位排列。

集合恒等式

幂等律、同一律、零律

(A cup A = A, A cap A = A, A cup varnothing = A, A cap E = A, A cup E = E, A cap varnothing = varnothing)

交换律、结合律

(Acup B=Bcup A, Acap B=Bcap A, Acup (Bcup C)=(Acup B) cup C, A cap (B cap C)=(A cap B) cap C)

分配律

(A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C), A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C))

二元关系

有序对与笛卡尔积

由两个元素按照一定顺序排成的二元组称作一个有序对，记做 (<x,y>)，其中 (x,y) 分别称为第一元素和第二元素。

定义集合 (A,B) 的笛卡尔积 (A imes B = { <x,y>|x in A and y in B })

性质 (Asubseteq C and B subseteq D Rightarrow A imes B subseteq C imes D)，特别需要注意其逆命题不成立。

笛卡尔积对并、交运算满足分配率。

二元关系

如果一个集合为空，或者它的元素都是有序对，那么它被称作一个二元关系，记做 (R)，简称关系。

对于二元关系 (R)，如果 (<x,y>in R)，则记 (xRy)，否则记 (x ot R y)

简而言之，二元关系是有序对的集合，笛卡尔积的子集

关系 (R) 的定义域 ( extrm{dom} R) 为有序对中第一元素构成的集合，值域 ( extrm{ran} R) 为有序对中第二元素构成的集合

特殊的二元关系

全域关系 (E_A = A imes A)，恒等关系 (I_A = {<x,x>|xin A})，空关系 (varnothing)

关系矩阵

设 (R) 是 (A={A_1,A_2,dots,A_m}) 到 (B={B_1,B_2,dots,B_n}) 上的关系，则记 (M={r_{ij}}_{m imes n})，其中 (r_{ij}=1) 代表 (A_iRB_j)，(r_{ij}=0) 则代表 (A_i ot R B_j)

以关系矩阵为邻接矩阵（边权为 (0) 表示无边）的图称为关系图

关系的运算

域

上文中已经介绍过定义域 ( extrm{dom} R) 和值域 ( extrm{ran} R)，其并集称为 (R) 的域 ( extrm{fld} R)

例：$R={<1,2>,<1,3>,<2,4>}, $ $ extrm{dom}R = {1,2}, $ ( extrm{ran} R={2,3,4},) $ extrm{fld} R={1,2,3,4}$

逆与复合

二元关系的逆 (R^{-1}) 定义为将 (R) 中所有有序对的两个元素交换次序得到的关系

对于两个二元关系 (F,G)，(G) 对 (F) 的右复合 (F circ G = { <x,y> | exists t (<x,t> in F and <t,y> in G) })，类似地也可以定义左复合

例：(F={ <3,3>,<6,2> },G={ <2,3> })，则 (F^{-1}={ <3,3>,<2,6> })，(F circ G = { <6,3> })

性质 ((F circ G) circ H = F circ (G circ H), (Fcirc G)^{-1} = G^{-1} circ F^{-1})

限制与像

设 (R) 为二元关系， (A) 是集合， (R) 在 (A) 上的限制 (R uparrow A={ <x,y>|xRy and x in A })，(A) 在 (R) 下的像记做 (R[A]= extrm{ran} (R uparrow A))

（待续）