2020牛客暑期多校训练营（第二场）F

Description

给出矩阵的行数 (n) 和列数 (m)，矩阵 (A_{i,j} = lcm( i , j ))，求每个大小为 (k imes k) 的子矩阵的最大值的和。(n,m le 5000)

Solution

关键在于如何求出 gcd 矩阵，剩下的可以单调队列处理

考虑从每一对互质数对 ((i,j)) 开始，将所有 ((ki,kj)) 的 gcd 设为 (k)

这个过程显然是 (O(nm)) 的，因为每对数最多只会被设置一次 gcd

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5005;

int n,m,k,a[N][N],b[N][N];
deque<pair<int,int>> q;

vector<int> getmax(vector<int> s)
{
    vector<int> ans;
    q.clear();
    int n=s.size();
    for(int i=0;i<k-1;i++)
    {
        while(q.size() && q.back().first<s[i]) q.pop_back();
        q.push_back({s[i],i});
    }
    for(int i=k-1;i<n;i++)
    {
        while(q.size() && q.back().first<s[i]) q.pop_back();
        q.push_back({s[i],i});
        while(q.size() && q.front().second<=i-k) q.pop_front();
        ans.push_back(q.front().first);
    }
    return ans;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(b[i][j]==0)
            {
                for(int k=1;k<=min(n/i,m/j);k++)
                {
                    b[i*k][j*k]=k;
                    a[i*k][j*k]=i*j*k;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        vector<int> vec;
        for(int j=0;j<m;j++) vec.push_back(a[i+1][j+1]);
        vector<int> ans=getmax(vec);
        for(int j=0;j<=m-k;j++) b[i][j]=ans[j];
    }
    for(int j=0;j<=m-k;j++)
    {
        vector<int> vec;
        for(int i=0;i<n;i++) vec.push_back(b[i][j]);
        vector<int> ans=getmax(vec);
        for(int i=0;i<=n-k;i++) a[i][j]=ans[i];
    }
    long long ans=0;
    for(int i=0;i<=n-k;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m-k;j++)
        {
            ans+=a[i][j];
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}