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  • 2020杭电多校第一场 E

    Description

    给定 (N,C le 10^{18}, K le 10^5),对斐波那契数列 (F),求 ((F_0)^K + (F_C)^K + (F_{2C})^K + ... + (F_{NC})^K)(T) 组数据。模 (10^9+9) 输出。

    Solution

    斐波那契数列的通项为

    [F_n = d(a^n-b^n), quad d=frac 1 {sqrt 5}, quad a=frac{1+sqrt 5}{2}, quad b=frac{1-sqrt 5}{2} ]

    在模 (10^9+9) 下,可以暴力找到 (sqrt 5 = 383008016)

    于是有

    [egin{aligned} sum_{i=0}^N (F_{iC})^k &=d^k sum_{i=0}^N (a^{iC}-b^{iC})^k \ &=d^ksum_{i=0}^N sum_{j=0}^k(-1)^{k-i} C_k^j a^{iCj}b^{iC(k-j)} \ & =d^k sum_{j=0}^kC_k^j frac {1-t^{n+1}}{1-t}, quad t=(a^jb^{k-j})^C end{aligned} ]

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    #define int long long
    
    const int mod = 1e9+9;
    const int sq5 = 383008016;
    
    int a,b,d,frac[100005],pwa[100005],pwb[100005],iv[100005];
    
    int qpow(int p,signed q)
    {
        return (q&1 ? p : 1) * (q ? qpow(p*p%mod, q>>1) : 1) % mod;
    }
    
    int inv(int p)
    {
        if(p<=1e5) return iv[p];
        return qpow(p, mod-2);
    }
    
    void prepare()
    {
        for(int i=0;i<=1e5;i++) iv[i]=qpow(i, mod-2);
    
        a=(1+sq5)*inv(2)%mod;
        b=(1-sq5+mod)%mod*inv(2)%mod;
        d=inv(sq5);
    
        for(int i=0;i<=1e5;i++) pwa[i]=qpow(a,i);
        for(int i=0;i<=1e5;i++) pwb[i]=qpow(b,i);
    
        frac[0]=1;
        for(int i=1;i<=1e5;i++) frac[i]=frac[i-1]*i%mod;
    }
    
    int C(int n,int m)
    {
        return frac[n] * inv(frac[m]) % mod * inv(frac[n-m]) % mod;
    }
    
    int fib(int n)
    {
        int ans = qpow(a,n) + qpow(b,n) + mod;
        ans %= mod;
        ans *= d;
        ans %= mod;
        return ans;
    }
    
    void work()
    {
        int n,c,k;
        cin>>n>>c>>k;
    
        int ans=0;
        int _C=1;
    
        int t = pwb[k];
        t = qpow(t, c%(mod-1));
    
        int u = (n+1)%(mod-1);
        int tt = qpow(t,u);
    
        int d1 = qpow(a,c%(mod-1)), d2 = inv(qpow(b,c%(mod-1)));
        int dn1 = qpow(d1,u), dn2 = qpow(d2,u);
    
        for(int i=0;i<=k;i++)
        {
            if(i) t = t*d1%mod*d2%mod, tt = tt*dn1%mod*dn2%mod;
    
            if(i) _C = _C * (k-i+1) % mod * inv(i) % mod;
    
            if(t!=1) ans += ((k-i)&1 ? -1 : 1)*(_C*(tt-1+mod)%mod*inv((t-1+mod)%mod)%mod);
            else ans += ((k-i)&1 ? -1 : 1)*(_C*(n%mod+1)%mod*t%mod);
            ans %= mod;
            ans += mod;
            ans %= mod;
        }
    
        cout << (ans*qpow(d,k)%mod) << endl;
    }
    
    signed main()
    {
        ios::sync_with_stdio(false);
    
        prepare();
    
        int t;
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            work();
        }
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mollnn/p/13360071.html
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